京都大学 2008年 理系 第3問（乙） 解説

方針・初手

空間ベクトルを用いて直線上の点を表現し、平行四辺形ができる条件を立式します。

点 $O$ を原点とし、4本の直線の方向ベクトルを考えます。「どの3直線も同一平面上にない」という条件は、任意の3つの方向ベクトルが一次独立（空間の基底になる）であることを意味します。したがって、4本目の方向ベクトルは、他の3本の方向ベクトルの一次結合で一意に表すことができます。

この関係式を利用して、4直線上にとった4点が「対角線の中点が一致する」という平行四辺形の成立条件を満たすように調整していくのが基本方針です。

解法1

点 $O$ を原点とする位置ベクトルで考える。

4直線 $l_1, l_2, l_3, l_4$ の $O$ でない任意の方向ベクトルをそれぞれ $\vec{v_1}, \vec{v_2}, \vec{v_3}, \vec{v_4}$ とする。

条件「どの3直線も同一平面上にない」より、$\vec{v_1}, \vec{v_2}, \vec{v_3}$ は一次独立である。

したがって、空間の任意のベクトルは $\vec{v_1}, \vec{v_2}, \vec{v_3}$ の一次結合で一意に表せるため、実数 $p, q, r$ を用いて

$$ \vec{v_4} = p\vec{v_1} + q\vec{v_2} + r\vec{v_3} $$

と表すことができる。

ここで、$p = 0$ と仮定すると $\vec{v_4} = q\vec{v_2} + r\vec{v_3}$ となり、$\vec{v_2}, \vec{v_3}, \vec{v_4}$ が一次従属となって直線 $l_2, l_3, l_4$ が同一平面上にあることになり、条件に矛盾する。

よって $p \neq 0$ である。同様にして、$q \neq 0, r \neq 0$ も成り立つ。

次に、各直線 $l_1, l_2, l_3, l_4$ 上に、それぞれ点 $A, B, C, D$ を次のようにとる。

$$ \vec{OA} = p\vec{v_1} $$

$$ \vec{OB} = q\vec{v_2} $$

$$ \vec{OC} = -r\vec{v_3} $$

$$ \vec{OD} = \vec{v_4} $$

$p, q, r \neq 0$ より、これら4点はすべて点 $O$ とは異なる点である。

このとき、$\vec{v_4}$ の関係式に代入すると、

$$ \vec{OD} = \vec{OA} + \vec{OB} - (-\vec{OC}) $$

$$ \vec{OA} + \vec{OB} = \vec{OC} + \vec{OD} $$

が成り立つ。両辺を2で割ると、

$$ \frac{\vec{OA} + \vec{OB}}{2} = \frac{\vec{OC} + \vec{OD}}{2} $$

これは、線分 $AB$ の中点と線分 $CD$ の中点が一致することを意味している。

また、$\vec{OA}, \vec{OB}, \vec{OC}$ は一次独立であるから、3点 $A, B, C$ は一直線上にない（同一直線上にない3点である）。

対角線の中点が一致し、かつ同一直線上にないため、4点 $A, C, B, D$ はこの順に平行四辺形の頂点をなす。したがって、この4点は同一平面上にある。この平面を $\alpha$ とする。

最後に、平面 $\alpha$ が点 $O$ を通らないことを背理法で示す。

平面 $\alpha$ が点 $O$ を通ると仮定すると、4点 $O, A, B, C$ が同一平面上にあることになる。これは直線 $l_1, l_2, l_3$ が同一平面上にあることを意味し、問題の条件「どの3直線も同一平面上にない」に矛盾する。

したがって、平面 $\alpha$ は点 $O$ を通らない。

以上より、4直線のいずれとも $O$ 以外の点で交わる平面で、4つの交点が平行四辺形の頂点になるようなものが存在することが示された。

解説

空間ベクトルにおける「一次独立」と「一次結合」の強力な性質を利用する証明問題です。

4本のベクトルのうち3本を基底として選び、残り1本を係数付きで表すアプローチは、空間幾何の難問でよく使われる定石です。

式変形から $\vec{OA} + \vec{OB} = \vec{OC} + \vec{OD}$ を導き、「線分の中点が一致するならば平行四辺形である」という初等幾何の性質に結びつける発想が本問の核心です。その際、直線上の点を都合よく選ぶために係数の符号を調整する（$\vec{OC} = -r\vec{v_3}$ とする）工夫が必要になります。

また、記述においては「選んだ点が $O$ と一致しないこと（係数が $0$ でないこと）」および「構成した平面が $O$ を通らないこと」の確認を忘れないようにすることが重要です。

答え

題意の通り、4直線のいずれとも $O$ 以外の点で交わり、交点が平行四辺形をなす平面が存在することが示された。