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京都大学 2009年理系第1問（乙）解説

方針・初手

点 $P, Q$ の座標を $s, t$ を用いて表し、平面 $OPQ$ の法線ベクトルを求めます。次に点 $D$ を通りこの法線ベクトルに平行な直線の媒介変数表示を求め、その直線が $xy$ 平面と交わる点の座標を計算します。最後に、その交点が線分 $AC$ 上に存在する条件を立式して整理します。

解法1

直方体の頂点の座標から、$A(3,0,0)$, $C(0,2,0)$, $D(0,0,4)$, $E(3,0,4)$, $G(0,2,4)$ である。辺 $AE$ を $s : 1-s$ に内分する点 $P$ の座標は、

$$ \vec{OP} = \vec{OA} + s\vec{AE} = (3,0,0) + s(0,0,4) = (3,0,4s) $$

辺 $CG$ を $t : 1-t$ に内分する点 $Q$ の座標は、

$$ \vec{OQ} = \vec{OC} + t\vec{CG} = (0,2,0) + t(0,0,4) = (0,2,4t) $$

平面 $OPQ$ に垂直なベクトル（法線ベクトル）の1つを $\vec{n} = (p, q, r)$ とおく。$\vec{n} \perp \vec{OP}$ より $\vec{n} \cdot \vec{OP} = 0$ なので、

$$ 3p + 4sr = 0 $$

$\vec{n} \perp \vec{OQ}$ より $\vec{n} \cdot \vec{OQ} = 0$ なので、

$$ 2q + 4tr = 0 $$

これらを満たす $p, q, r$ の組として $r = -3$ とすると、$p = 4s$, $q = 6t$ となる。したがって、法線ベクトルの1つは $\vec{n} = (4s, 6t, -3)$ である。

点 $D(0,0,4)$ を通り、平面 $OPQ$ に垂直な直線を $l$ とすると、直線 $l$ 上の点 $R$ の座標は実数 $k$ を用いて

$$ \vec{OR} = \vec{OD} + k\vec{n} = (0,0,4) + k(4s, 6t, -3) = (4sk, 6tk, 4-3k) $$

と表される。

直線 $l$ が線分 $AC$（両端を含む）と交わるとき、その交点は $xy$ 平面上にあるため、$z$ 座標は $0$ である。

$$ 4 - 3k = 0 \iff k = \frac{4}{3} $$

このとき、交点 $R$ の座標は

$$ \left( 4s \cdot \frac{4}{3},\ 6t \cdot \frac{4}{3},\ 0 \right) = \left( \frac{16}{3}s,\ 8t,\ 0 \right) $$

一方、点 $A(3,0,0)$ と点 $C(0,2,0)$ を結ぶ線分 $AC$ 上の点 $(x, y, 0)$ は、

$$ \frac{x}{3} + \frac{y}{2} = 1 \quad (x \geqq 0, y \geqq 0) $$

を満たす。点 $R$ がこの線分 $AC$ 上にあるための条件は、

$$ \frac{\frac{16}{3}s}{3} + \frac{8t}{2} = 1 $$

$$ \frac{16}{9}s + 4t = 1 $$

両辺に $9$ を掛けて整理すると、

$$ 16s + 36t = 9 $$

ここで、前提条件 $0 < s < 1, 0 < t < 1$ との整合性を確認する。$s > 0, t > 0$ であるから $x = \frac{16}{3}s > 0$ および $y = 8t > 0$ となり、$x \geqq 0, y \geqq 0$ の条件は満たされている。また、$16s + 36t = 9$ かつ $s > 0, t > 0$ のとき、$s = \frac{9}{16} - \frac{9}{4}t < \frac{9}{16} < 1$、$t = \frac{1}{4} - \frac{4}{9}s < \frac{1}{4} < 1$ となり、$0 < s < 1, 0 < t < 1$ の条件も矛盾なく満たしている。

したがって、求める条件は $16s + 36t = 9$ である。

解説

空間座標における直線と平面の交点を求める典型的な問題です。直方体の頂点が座標として与えられているため、ベクトルを用いて機械的に計算を進めるのが確実です。平面の法線ベクトルは、平面上の独立な2つの方向ベクトルとの内積が $0$ になるように連立方程式を立てて求めます。最後に、得られた交点の座標が「線分の方程式と範囲」を満たすように代入して条件式を導きます。