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京都大学 2013年理系第4問解説

方針・初手

$f(x) = \cos x + \dfrac{\sqrt{3}}{4}x^2$ とおき、偶関数であることを確認して考察範囲を $0 \leqq x \leqq \dfrac{\pi}{2}$ に絞る。
$f'(x)$ の符号がすぐに分からないため、$f''(x)$ を求めて $f'(x)$ の増減を把握してから $f(x)$ の増減表を作る（2回微分の典型）。
与えられた条件 $\pi > 3.1$、$\sqrt{3} > 1.7$ は、$f'(x)$ の端点での符号判定と最大値候補の大小比較の2か所で用いる。

解法1

$f(x) = \cos x + \dfrac{\sqrt{3}}{4}x^2$ とおく。

$f(-x) = \cos(-x) + \dfrac{\sqrt{3}}{4}(-x)^2 = \cos x + \dfrac{\sqrt{3}}{4}x^2 = f(x)$ であるから、$f(x)$ は偶関数である。

よって $0 \leqq x \leqq \dfrac{\pi}{2}$ の範囲で最大値を調べれば十分である。

微分すると、

$$ f'(x) = -\sin x + \frac{\sqrt{3}}{2}x $$

さらに微分すると、

$$ f''(x) = -\cos x + \frac{\sqrt{3}}{2} $$

$0 \leqq x \leqq \dfrac{\pi}{2}$ において $f''(x) = 0$ となるのは $\cos x = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$、すなわち $x = \dfrac{\pi}{6}$ のときである。

$$ 0 \leqq x < \frac{\pi}{6} \text{ で } f''(x) < 0, \qquad \frac{\pi}{6} < x \leqq \frac{\pi}{2} \text{ で } f''(x) > 0 $$

よって $f'(x)$ は $\left[0,\, \dfrac{\pi}{6}\right]$ で単調減少、$\left[\dfrac{\pi}{6},\, \dfrac{\pi}{2}\right]$ で単調増加する。

$f'(x)$ の符号の確認：

$f'(0) = 0$ であり、$f'(x)$ は $\left(0,\, \dfrac{\pi}{6}\right]$ で単調減少するから $f'(x) < 0$（$0 < x \leqq \dfrac{\pi}{6}$）。

$f'\!\left(\dfrac{\pi}{6}\right) = -\dfrac{1}{2} + \dfrac{\sqrt{3}\pi}{12}$。$\sqrt{3}\pi > 1.7 \times 3.1 = 5.27$ より $\dfrac{\sqrt{3}\pi}{12} < \dfrac{6}{12} = \dfrac{1}{2}$ とはならないが、$5.27 < 6$ であるから $\dfrac{\sqrt{3}\pi}{12} < \dfrac{1}{2}$、すなわち $f'\!\left(\dfrac{\pi}{6}\right) < 0$。

$f'\!\left(\dfrac{\pi}{2}\right) = -1 + \dfrac{\sqrt{3}\pi}{4}$。$\sqrt{3}\pi > 5.27 > 4$ より $\dfrac{\sqrt{3}\pi}{4} > 1$、すなわち $f'\!\left(\dfrac{\pi}{2}\right) > 0$。

$f'(x)$ は $\left[\dfrac{\pi}{6},\, \dfrac{\pi}{2}\right]$ で単調増加し、$f'\!\left(\dfrac{\pi}{6}\right) < 0$、$f'\!\left(\dfrac{\pi}{2}\right) > 0$ であるから、中間値の定理より $f'(\alpha) = 0$ となる $\alpha$ がこの区間にただ1つ存在する。

$f(x)$ の $\left[0,\, \dfrac{\pi}{2}\right]$ における増減表：