京都大学 2016年 理系 第1問 解説

方針・初手

• (1) は関数の最大値を求める問題なので、導関数 $f_n'(\theta)$ を計算し、増減を調べます。三角関数の微分では、式を $\cos\theta$ または $\sin\theta$ のいずれか一方の多項式に揃えて因数分解するのが定石です。
• (2) は (1) で求めた最大値 $M_n$ の式を用いて極限を計算します。指数の肩に $n$ が含まれる式や $1^\infty$ の不定形が現れる極限では、対数をとってネイピア数 $e$ の定義式 $\lim_{x \to 0}(1+x)^{1/x} = e$ や $\lim_{n \to \infty}(1+\frac{1}{n})^n = e$ に帰着させるのが有効です。

解法1

(1)

$f_n(\theta) = (1 + \cos\theta)\sin^{n-1}\theta$ を $\theta$ について微分する。

積の微分公式より、

$$ f_n'(\theta) = (-\sin\theta)\sin^{n-1}\theta + (1 + \cos\theta)(n-1)\sin^{n-2}\theta\cos\theta $$

$$ = -\sin^n\theta + (n-1)(1 + \cos\theta)\cos\theta\sin^{n-2}\theta $$

$\sin^n\theta = \sin^2\theta \cdot \sin^{n-2}\theta = (1 - \cos^2\theta)\sin^{n-2}\theta$ であるから、これを代入して $\sin^{n-2}\theta$ でくくると、

$$ f_n'(\theta) = \sin^{n-2}\theta\left\{-(1 - \cos^2\theta) + (n-1)(\cos\theta + \cos^2\theta)\right\} $$

$$ = \sin^{n-2}\theta\left\{n\cos^2\theta + (n-1)\cos\theta - 1\right\} $$

$$ = \sin^{n-2}\theta\,(n\cos\theta - 1)(\cos\theta + 1) $$

$0 \leq \theta \leq \dfrac{\pi}{2}$ において、$\sin\theta \geq 0,\ \cos\theta + 1 > 0$ であるから、$f_n'(\theta)$ の符号は $n\cos\theta - 1$ の符号と一致する。

$n \geq 2$ より $0 < \dfrac{1}{n} \leq \dfrac{1}{2} < 1$ であるため、$\cos\alpha_n = \dfrac{1}{n}$ を満たす角 $\alpha_n$ が $0 < \alpha_n < \dfrac{\pi}{2}$ の範囲にただ 1 つ存在する。

• $0 \leq \theta < \alpha_n$ のとき $\cos\theta > \dfrac{1}{n}$ より $f_n'(\theta) > 0$
• $\alpha_n < \theta \leq \dfrac{\pi}{2}$ のとき $\cos\theta < \dfrac{1}{n}$ より $f_n'(\theta) < 0$

したがって、$f_n(\theta)$ は $\theta = \alpha_n$ のとき最大値をとる。

$\cos\alpha_n = \dfrac{1}{n}$ のとき、$\sin\alpha_n = \sqrt{1 - \cos^2\alpha_n} = \sqrt{1 - \dfrac{1}{n^2}}$ である。

よって、最大値 $M_n$ は、

$$ M_n = f_n(\alpha_n) = (1 + \cos\alpha_n)\sin^{n-1}\alpha_n = \left(1 + \frac{1}{n}\right)\!\left(1 - \frac{1}{n^2}\right)^{\!\frac{n-1}{2}} $$

(2)

(1) より、

$$ (M_n)^n = \left\{\left(1 + \frac{1}{n}\right)\!\left(1 - \frac{1}{n^2}\right)^{\!\frac{n-1}{2}}\right\}^n = \left(1 + \frac{1}{n}\right)^{\!n}\!\left(1 - \frac{1}{n^2}\right)^{\!\frac{n(n-1)}{2}} $$

この式の自然対数をとると、

$$ \log(M_n)^n = n\log\!\left(1 + \frac{1}{n}\right) + \frac{n(n-1)}{2}\log\!\left(1 - \frac{1}{n^2}\right) $$

$$ = \log\!\left(1 + \frac{1}{n}\right)^{\!n} - \frac{n-1}{2n}\log\!\left(1 - \frac{1}{n^2}\right)^{\!-n^2} $$

ここで $n \to \infty$ の極限を考える。

$$ \lim_{n \to \infty}\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n = e $$

また、$t = -\dfrac{1}{n^2}$ とおくと、$n \to \infty$ のとき $t \to 0$ であり、

$$ \lim_{n \to \infty}\left(1 - \frac{1}{n^2}\right)^{-n^2} = \lim_{t \to 0}(1 + t)^{1/t} = e $$

さらに、$\lim_{n \to \infty}\dfrac{n-1}{2n} = \dfrac{1}{2}$ である。

これらを代入すると、

$$ \lim_{n \to \infty}\log(M_n)^n = \log e - \frac{1}{2}\log e = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2} $$

よって、

$$ \lim_{n \to \infty}(M_n)^n = e^{1/2} = \sqrt{e} $$

解説

(1) の微分では、$\sin^{n-1}\theta$ をそのまま展開するよりも、積の微分法を用いて式をまとめる方が計算ミスを防げます。$n\cos^2\theta + (n-1)\cos\theta - 1$ の因数分解はたすき掛けで処理します。

$\cos\alpha_n = \dfrac{1}{n}$ となる具体的な角度は求まりませんが、増減を調べる上では全く問題ありません。そのまま $\alpha_n$ として計算を進め、最後に代入するという処理は数学IIIの微積分では頻出です。

(2) では、$(1 + 0)^\infty$ の不定形となるため、自然対数の底 $e$ の定義に持ち込むことが目標になります。そのままでは指数部分の処理が複雑になるため、対数をとって和の形に分離すると見通しが良くなります。

答え

(1)

$$ M_n = \left(1 + \frac{1}{n}\right)\!\left(1 - \frac{1}{n^2}\right)^{\!\frac{n-1}{2}} $$

(2)

$$ \lim_{n \to \infty}(M_n)^n = \sqrt{e} $$