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大阪大学 2013年理系第1問解説

方針・初手

導関数の定義式に従って計算を進める。

$$ f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} $$

この定義式に $f(x) = \sin x$ を代入し、分子の $\sin(x+h) - \sin x$ を変形していく過程で、与えられた極限の公式 $\lim_{h \to 0} \frac{\sin h}{h} = 1$ （文字 $x$ を $h$ に置き換えたもの）が利用できるように形を整える。分子の変形において、和積の公式を用いる方法と加法定理を用いる方法が考えられる。

解法1

導関数の定義より、

$$ (\sin x)' = \lim_{h \to 0} \frac{\sin(x+h) - \sin x}{h} $$

ここで、分子に対して和積の公式 $\sin A - \sin B = 2 \cos \frac{A+B}{2} \sin \frac{A-B}{2}$ を用いると、

$$ \sin(x+h) - \sin x = 2 \cos\left( \frac{(x+h)+x}{2} \right) \sin\left( \frac{(x+h)-x}{2} \right) = 2 \cos\left( x + \frac{h}{2} \right) \sin\left( \frac{h}{2} \right) $$

となる。これを極限の式に代入する。

$$ \begin{aligned} (\sin x)' &= \lim_{h \to 0} \frac{2 \cos\left( x + \frac{h}{2} \right) \sin\left( \frac{h}{2} \right)}{h} \\ &= \lim_{h \to 0} \left\{ \cos\left( x + \frac{h}{2} \right) \cdot \frac{\sin\left( \frac{h}{2} \right)}{\frac{h}{2}} \right\} \end{aligned} $$

$h \to 0$ のとき $\frac{h}{2} \to 0$ であるから、与えられた極限の公式より、

$$ \lim_{h \to 0} \frac{\sin\left( \frac{h}{2} \right)}{\frac{h}{2}} = 1 $$

が成り立つ。また、関数 $\cos x$ は連続であるから、

$$ \lim_{h \to 0} \cos\left( x + \frac{h}{2} \right) = \cos x $$

である。したがって、

$$ \begin{aligned} (\sin x)' &= \cos x \cdot 1 \\ &= \cos x \end{aligned} $$

となり、$\sin x$ の導関数が $\cos x$ であることが示された。

解法2

導関数の定義より、

$$ (\sin x)' = \lim_{h \to 0} \frac{\sin(x+h) - \sin x}{h} $$

ここで、分子の $\sin(x+h)$ に加法定理を適用する。

$$ \begin{aligned} (\sin x)' &= \lim_{h \to 0} \frac{\sin x \cos h + \cos x \sin h - \sin x}{h} \\ &= \lim_{h \to 0} \frac{\sin x (\cos h - 1) + \cos x \sin h}{h} \\ &= \lim_{h \to 0} \left( \sin x \cdot \frac{\cos h - 1}{h} + \cos x \cdot \frac{\sin h}{h} \right) \end{aligned} $$

この極限を計算するために、$\lim_{h \to 0} \frac{\cos h - 1}{h}$ の値を求める。分子・分母に $\cos h + 1$ を掛けると、

$$ \begin{aligned} \lim_{h \to 0} \frac{\cos h - 1}{h} &= \lim_{h \to 0} \frac{(\cos h - 1)(\cos h + 1)}{h(\cos h + 1)} \\ &= \lim_{h \to 0} \frac{\cos^2 h - 1}{h(\cos h + 1)} \\ &= \lim_{h \to 0} \frac{-\sin^2 h}{h(\cos h + 1)} \\ &= \lim_{h \to 0} \left( -\frac{\sin h}{h} \cdot \frac{\sin h}{\cos h + 1} \right) \end{aligned} $$

与えられた極限の公式 $\lim_{h \to 0} \frac{\sin h}{h} = 1$ より、

$$ \lim_{h \to 0} \left( -\frac{\sin h}{h} \cdot \frac{\sin h}{\cos h + 1} \right) = -1 \cdot \frac{0}{1+1} = 0 $$

となる。これと $\lim_{h \to 0} \frac{\sin h}{h} = 1$ を用いて元の極限を計算すると、

$$ \begin{aligned} (\sin x)' &= \lim_{h \to 0} \left( \sin x \cdot \frac{\cos h - 1}{h} + \cos x \cdot \frac{\sin h}{h} \right) \\ &= \sin x \cdot 0 + \cos x \cdot 1 \\ &= \cos x \end{aligned} $$

となり、$\sin x$ の導関数が $\cos x$ であることが示された。

解説

三角関数の導関数の公式を、導関数の定義式と基本極限公式を用いて導出する非常に基本的な問題である。教科書に必ず載っている証明事項であり、正確に再現できるようにしておく必要がある。

解法1で用いた和積の公式を利用する変形は、簡潔に $\frac{\sin \theta}{\theta}$ の形を作り出せるため、この証明において最も鮮やかな手法である。

解法2の加法定理を用いる方法は、$\lim_{h \to 0} \frac{\cos h - 1}{h} = 0$ という事実を追加で示す手間がかかるが、和積の公式を忘れてしまった場合でも加法定理から自然に導けるという強みがある。この追加の極限の導出自体も、三角関数の極限計算における頻出の手法であるため、澱みなく計算できるようにしておきたい。