東北大学 1990年 理系 第1問 解説

方針・初手

領域は曲線 $\sqrt{x}+\sqrt{y}=1$ と $x$ 軸・$y$ 軸で囲まれており，直線 $y=x$ に関して対称である。

したがって，領域のうち $y\le x$ の半分だけを取り，これを直線 $y=x$ のまわりに回転させれば，ちょうど求める立体全体が得られる。そこで，この半領域に対して円筒殻の考え方を用いる。

また，曲線に平方根が含まれているので，

$$ x=s^2,\quad y=t^2 \qquad (s,t\ge0) $$

とおくと，境界条件 $\sqrt{x}+\sqrt{y}=1$ は

$$ s+t=1 $$

となり，領域が三角形に変わる。これが計算の要点である。

解法1

もとの領域を $R$ とし，そのうち直線 $y=x$ の下側の半分を

$$ H={(x,y)\mid x\ge0,\ y\ge0,\ \sqrt{x}+\sqrt{y}\le1,\ y\le x} $$

とする。

点 $(x,y)\in H$ から直線 $y=x$ までの距離は

$$ r=\frac{x-y}{\sqrt{2}} $$

である。したがって，微小面積 $dA$ を回転させたときの微小体積は

$$ dV=2\pi r,dA =\frac{2\pi}{\sqrt{2}}(x-y),dA $$

となるから，求める体積 $V$ は

$$ V=\frac{2\pi}{\sqrt{2}}\iint_H (x-y),dA $$

である。

ここで

$$ x=s^2,\quad y=t^2 \qquad (s,t\ge0) $$

とおく。すると

$$ dx,dy=\left|\frac{\partial(x,y)}{\partial(s,t)}\right|ds,dt =4st,ds,dt $$

であり，半領域 $H$ は $st$ 平面で

$$ D={(s,t)\mid s\ge0,\ t\ge0,\ s+t\le1,\ t\le s} $$

に移る。よって

$$ V=\frac{2\pi}{\sqrt{2}}\iint_D (s^2-t^2),4st,ds,dt $$

となる。

さらに

$$ u=s+t,\quad v=s-t $$

とおくと，

$$ s=\frac{u+v}{2},\quad t=\frac{u-v}{2} $$

より，

$$ s^2-t^2=uv,\qquad 4st=u^2-v^2,\qquad ds,dt=\frac12,du,dv $$

である。また，領域 $D$ は

$$ 0\le v\le u\le1 $$

となる。したがって

$$ V=\frac{2\pi}{\sqrt{2}} \int_0^1\int_0^u \frac12,uv(u^2-v^2),dv,du $$

である。

内側を積分すると，

$$ \int_0^u \frac12,uv(u^2-v^2),dv =\frac{u}{2}\left[\frac{u^2v^2}{2}-\frac{v^4}{4}\right]_0^u =\frac{u^5}{8} $$

だから，

$$ V=\frac{2\pi}{\sqrt{2}}\int_0^1 \frac{u^5}{8},du =\frac{2\pi}{\sqrt{2}}\cdot \frac{1}{48} =\frac{\pi}{24\sqrt{2}} $$

となる。

解説

この問題では，そのまま $x,y$ で積分しようとすると，直線 $y=x$ と曲線 $\sqrt{x}+\sqrt{y}=1$ の交点で場合分けが必要になり，計算が煩雑になる。

一方で，

$$ x=s^2,\quad y=t^2 $$

と置けば境界が $s+t=1$ という一次式になり，領域が三角形になる。さらに

$$ u=s+t,\quad v=s-t $$

と置くことで，対称性に対応した座標になり，積分範囲が

$$ 0\le v\le u\le1 $$

という単純な形になる。回転軸が $y=x$ であることと，$\sqrt{x},\sqrt{y}$ が現れていることの両方を見て，この変数変換を選べるかどうかが重要である。

答え

$$ \frac{\pi}{24\sqrt{2}} $$