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京都大学 2017年理系第4問解説

方針・初手

（1）内心の性質（角の二等分線の交点であること）を用いて、三角形の内角の和から計算します。
（2）内接円の半径 $r$ を $\triangle ABC$ の内角の式で表し、鋭角三角形である条件から角のとりうる範囲を求めて $r$ の変域を絞り込みます。正弦定理や面積の公式を用いるほか、内接円の半径と角の公式を活用するとスムーズです。

解法1

(1)

内心 $P$ は $\triangle ABC$ の各内角の二等分線の交点であるから、

$$ \angle PBC = \frac{B}{2}, \qquad \angle PCB = \frac{C}{2} $$

$\triangle ABC$ の内角の和は $\pi$ であり、$\angle A = \dfrac{\pi}{3}$ であるから、

$$ B + C = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3} $$

$\triangle PBC$ において、内角の和は $\pi$ であるから、

$$ \angle BPC = \pi - \frac{B}{2} - \frac{C}{2} = \pi - \frac{B+C}{2} = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3} $$

(2)

外接円の半径を $R = 1$、各辺の長さを $a,\ b,\ c$ とする。正弦定理より、

$$ a = 2R\sin A = 2\sin\frac{\pi}{3} = \sqrt{3}, \qquad b = 2\sin B, \qquad c = 2\sin C $$

$\triangle ABC$ の面積を $S$ とすると、

$$ S = \frac{1}{2}bc\sin A = \frac{1}{2} \cdot 2\sin B \cdot 2\sin C \cdot \sin\frac{\pi}{3} = \sqrt{3}\sin B\sin C $$

また、$S = \dfrac{1}{2}r(a+b+c)$ でもあるから、

$$ \sqrt{3}\sin B\sin C = \frac{1}{2}r(\sqrt{3} + 2\sin B + 2\sin C) $$

$$ r = \frac{2\sqrt{3}\sin B\sin C}{\sqrt{3} + 2\sin B + 2\sin C} $$

ここで、和積の公式と積和の公式を用いて変形する。

$$ \sin B + \sin C = 2\sin\frac{B+C}{2}\cos\frac{B-C}{2}, \qquad \sin B\sin C = \frac{1}{2}\!\left(\cos(B-C) - \cos(B+C)\right) $$

$B + C = \dfrac{2\pi}{3}$ より $\sin\dfrac{B+C}{2} = \sin\dfrac{\pi}{3} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ なので、

$$ \sin B + \sin C = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \cos\frac{B-C}{2} = \sqrt{3}\cos\frac{B-C}{2} $$

また、

$$ \sin B\sin C = \frac{1}{2}\!\left(\cos(B-C) - \cos\frac{2\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}\!\left(\cos(B-C) + \frac{1}{2}\right) $$

半角の公式 $\cos(B-C) = 2\cos^2\dfrac{B-C}{2} - 1$ より、

$$ \sin B\sin C = \frac{1}{2}\!\left(2\cos^2\frac{B-C}{2} - 1 + \frac{1}{2}\right) = \cos^2\frac{B-C}{2} - \frac{1}{4} $$

$x = \cos\dfrac{B-C}{2}$ とおくと、

$$ r = \frac{2\sqrt{3}\!\left(x^2 - \dfrac{1}{4}\right)}{\sqrt{3} + 2\sqrt{3}\,x} = \frac{2\sqrt{3}\!\left(x^2 - \dfrac{1}{4}\right)}{\sqrt{3}(1+2x)} = \frac{4x^2-1}{2(2x+1)} = \frac{(2x-1)(2x+1)}{2(2x+1)} = x - \frac{1}{2} $$

次に $x = \cos\dfrac{B-C}{2}$ のとりうる値の範囲を求める。

$\triangle ABC$ は鋭角三角形であるから、$B < \dfrac{\pi}{2}$ かつ $C < \dfrac{\pi}{2}$。

$C = \dfrac{2\pi}{3} - B$ より、$\dfrac{2\pi}{3} - B < \dfrac{\pi}{2} \implies B > \dfrac{\pi}{6}$

よって、$\dfrac{\pi}{6} < B < \dfrac{\pi}{2}$ である。

このとき、$B - C = B - \left(\dfrac{2\pi}{3} - B\right) = 2B - \dfrac{2\pi}{3}$ であるから、

$$ -\frac{\pi}{6} < \frac{B-C}{2} < \frac{\pi}{6} $$

したがって、$\cos\dfrac{\pi}{6} < \cos\dfrac{B-C}{2} \leq \cos 0$ より、

$$ \frac{\sqrt{3}}{2} < x \leq 1 $$

$r = x - \dfrac{1}{2}$ であるから、求める範囲は

$$ \frac{\sqrt{3}-1}{2} < r \leq \frac{1}{2} $$

解法2

(2) の別解

一般の三角形において、外接円の半径 $R$ と内接円の半径 $r$ の間には、

$$ r = 4R\sin\frac{A}{2}\sin\frac{B}{2}\sin\frac{C}{2} $$

という関係が成り立つ。

本問では $R = 1,\ A = \dfrac{\pi}{3}$ であるから、

$$ r = 4\sin\frac{\pi}{6}\sin\frac{B}{2}\sin\frac{C}{2} = 2\sin\frac{B}{2}\sin\frac{C}{2} $$

積和の公式より、

$$ \sin\frac{B}{2}\sin\frac{C}{2} = \frac{1}{2}\!\left(\cos\frac{B-C}{2} - \cos\frac{B+C}{2}\right) $$

$B + C = \dfrac{2\pi}{3}$ より $\cos\dfrac{B+C}{2} = \cos\dfrac{\pi}{3} = \dfrac{1}{2}$ であるから、

$$ r = 2 \cdot \frac{1}{2}\!\left(\cos\frac{B-C}{2} - \frac{1}{2}\right) = \cos\frac{B-C}{2} - \frac{1}{2} $$

鋭角三角形である条件から $B,\ C < \dfrac{\pi}{2}$ であり、解法1と同様に $-\dfrac{\pi}{6} < \dfrac{B-C}{2} < \dfrac{\pi}{6}$ が得られる。

よって $\dfrac{\sqrt{3}}{2} < \cos\dfrac{B-C}{2} \leq 1$ であり、

$$ \frac{\sqrt{3}-1}{2} < r \leq \frac{1}{2} $$

解説

(1) は中学図形の知識でも解ける基本問題ですが、(2) の布石にもなっています。

(2) は図形量を三角関数の式で表して最大最小・値域を考える典型的な問題です。面積 $S$ と辺の長さから $r$ を表す解法1は、計算こそ少し工夫が要るものの、確実に答えに辿り着ける王道のアプローチです。途中で現れる $\dfrac{4x^2-1}{2(2x+1)}$ の約分が見抜けると鮮やかです。

解法2で用いた $r = 4R\sin\dfrac{A}{2}\sin\dfrac{B}{2}\sin\dfrac{C}{2}$ は、知っていると非常に強力な公式です。鋭角三角形という条件から内角 $B,\ C$ の変域を正確に求められるかが最終的なポイントとなります。