トップ› 京都大学› 2024年› 理系第3問

京都大学 2024年理系第3問解説

方針・初手

2直線が「ねじれの位置にある」とは、「平行でなく、かつ共有点をもたない」ことです。これらは否定的な条件であり直接扱うのが難しいため、一旦その否定である「ねじれの位置にない（すなわち、平行であるか、または共有点をもつ）」条件を求める方針をとります。空間の基底として $\overrightarrow{\mathrm{OA}}, \overrightarrow{\mathrm{OB}}, \overrightarrow{\mathrm{OC}}$ を設定し、各直線の方向ベクトルや直線上の点の位置ベクトルを表現して、係数比較に持ち込みます。

解法1

$\overrightarrow{\mathrm{OA}} = \vec{a}$, $\overrightarrow{\mathrm{OB}} = \vec{b}$, $\overrightarrow{\mathrm{OC}} = \vec{c}$ とおく。 4点 $\mathrm{O, A, B, C}$ は同一平面上にないため、$\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ は一次独立である。

条件より、各点の位置ベクトルは次のように表せる。 $\overrightarrow{\mathrm{OP}} = \frac{1}{2}\vec{a}$ $\overrightarrow{\mathrm{OQ}} = \frac{1}{2}\vec{a} + \frac{1}{2}\vec{b}$ $\overrightarrow{\mathrm{OX}} = x\vec{c}$ $\overrightarrow{\mathrm{BY}} = y\overrightarrow{\mathrm{BC}} \iff \overrightarrow{\mathrm{OY}} - \overrightarrow{\mathrm{OB}} = y(\overrightarrow{\mathrm{OC}} - \overrightarrow{\mathrm{OB}})$ よって、$\overrightarrow{\mathrm{OY}} = (1-y)\vec{b} + y\vec{c}$

したがって、直線 $\mathrm{PX}$, $\mathrm{QY}$ の方向ベクトルはそれぞれ $\overrightarrow{\mathrm{PX}} = \overrightarrow{\mathrm{OX}} - \overrightarrow{\mathrm{OP}} = -\frac{1}{2}\vec{a} + x\vec{c}$ $\overrightarrow{\mathrm{QY}} = \overrightarrow{\mathrm{OY}} - \overrightarrow{\mathrm{OQ}} = -\frac{1}{2}\vec{a} + \left(\frac{1}{2}-y\right)\vec{b} + y\vec{c}$

直線 $\mathrm{PX}$ と直線 $\mathrm{QY}$ がねじれの位置にないための条件は、以下の[1]または[2]が成り立つことである。

[1] 直線 $\mathrm{PX}$ と直線 $\mathrm{QY}$ が平行であるとき

$\overrightarrow{\mathrm{PX}} = u\overrightarrow{\mathrm{QY}}$ となる実数 $u$ が存在する。

$$ -\frac{1}{2}\vec{a} + x\vec{c} = u \left\{ -\frac{1}{2}\vec{a} + \left(\frac{1}{2}-y\right)\vec{b} + y\vec{c} \right\} $$

$$ -\frac{1}{2}\vec{a} + x\vec{c} = -\frac{u}{2}\vec{a} + u\left(\frac{1}{2}-y\right)\vec{b} + uy\vec{c} $$

$\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ は一次独立なので、係数を比較して

$$\begin{cases} -\frac{1}{2} = -\frac{u}{2} \\ 0 = u\left(\frac{1}{2}-y\right) \\ x = uy \end{cases}$$

第1式より $u=1$。これを第2式に代入して $y=\frac{1}{2}$。さらに第3式より $x=\frac{1}{2}$。よって、平行となる条件は $x = \frac{1}{2}$ かつ $y = \frac{1}{2}$ である。

[2] 直線 $\mathrm{PX}$ と直線 $\mathrm{QY}$ が共有点をもつとき

その共有点を $\mathrm{Z}$ とすると、点 $\mathrm{Z}$ は直線 $\mathrm{PX}$ 上かつ直線 $\mathrm{QY}$ 上にあるため、実数 $k, l$ を用いて $\overrightarrow{\mathrm{PZ}} = k\overrightarrow{\mathrm{PX}}$ $\overrightarrow{\mathrm{QZ}} = l\overrightarrow{\mathrm{QY}}$ と表せる。これを $\mathrm{O}$ を始点として書き換えると、

$$ \overrightarrow{\mathrm{OZ}} = \overrightarrow{\mathrm{OP}} + k\overrightarrow{\mathrm{PX}} = \frac{1}{2}\vec{a} + k\left(-\frac{1}{2}\vec{a} + x\vec{c}\right) = \frac{1-k}{2}\vec{a} + kx\vec{c} $$

$$ \overrightarrow{\mathrm{OZ}} = \overrightarrow{\mathrm{OQ}} + l\overrightarrow{\mathrm{QY}} = \frac{1}{2}\vec{a} + \frac{1}{2}\vec{b} + l\left\{-\frac{1}{2}\vec{a} + \left(\frac{1}{2}-y\right)\vec{b} + y\vec{c}\right\} = \frac{1-l}{2}\vec{a} + \frac{1+l(1-2y)}{2}\vec{b} + ly\vec{c} $$

これらが一致し、$\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ は一次独立なので、係数を比較して

$$\begin{cases} \frac{1-k}{2} = \frac{1-l}{2} & \cdots \text{①} \\ 0 = \frac{1+l(1-2y)}{2} & \cdots \text{②} \\ kx = ly & \cdots \text{③} \end{cases}$$

①より $k = l$。これを③に代入すると、$kx = ky \iff k(x-y) = 0$。ここで $k=0$ と仮定すると、②は $0 = \frac{1}{2}$ となり不合理。よって $k \neq 0$ であり、$x = y$ となる。このとき、②に $l=k$ と $y=x$ を代入すると、

$$ 1+k(1-2x) = 0 \iff k(2x-1) = 1 $$

$k$ は実数として存在しなければならないため、$2x-1 \neq 0$ すなわち $x \neq \frac{1}{2}$ である。（$x \neq \frac{1}{2}$ であれば $k = \frac{1}{2x-1}$ と定まる。）よって、共有点をもつ条件は $x = y$ かつ $x \neq \frac{1}{2}$ である。

[1], [2] より、直線 $\mathrm{PX}$ と直線 $\mathrm{QY}$ がねじれの位置にない条件は、「$x = \frac{1}{2}$ かつ $y = \frac{1}{2}$」または「$x = y$ かつ $x \neq \frac{1}{2}$」これらをまとめると、必要十分条件は $x = y$ となる。

したがって、直線 $\mathrm{PX}$ と直線 $\mathrm{QY}$ がねじれの位置にあるための必要十分条件は、その否定である

$$ x \neq y $$

である。

解説

「ねじれの位置にある」という否定的な条件を直接扱うのは難しいため、「ねじれの位置にない（同一平面上にある）」条件を考えてから最後に否定をとるのが定石です。同一平面上にある条件の処理方法として、この解答のように「①平行になる場合」と「②交わる場合」に分けて論証する方法は、図形的意味が分かりやすく、数式の意味を見失いにくいため有力な戦略となります。立式後は、設定した基底ベクトルが一次独立であることを理由とした係数比較を忘れずに記述しましょう。