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京都大学 2025年理系第4問解説

方針・初手

(1) 空間内の点が平面 $LMN$ 上にある条件は、その点の位置ベクトルが $\overrightarrow{OL}, \overrightarrow{OM}, \overrightarrow{ON}$ の係数和が $1$ となる一次結合で表されることです。問題の条件式 $\frac{1}{s} + \frac{2}{t} + \frac{3}{u} = 4$ の両辺を $4$ で割り、係数和が $1$ となる形を作り出します。 (2) 四面体 $OABC$ と四面体 $PABC$ は底面 $\triangle ABC$ を共有しています。したがって、体積比は点 $O, P$ それぞれから平面 $ABC$ に下ろした垂線の長さ（高さ）の比になります。直線 $OP$ と平面 $ABC$ の交点 $Q$ を見つけることで、高さの比が分かります。

解法1

(1)

条件式 $\frac{1}{s} + \frac{2}{t} + \frac{3}{u} = 4$ の両辺を $4$ で割ると、

$\frac{1}{4s} + \frac{1}{2t} + \frac{3}{4u} = 1 \quad \cdots ①$

となる。点 $P$ を、

$\overrightarrow{OP} = \frac{1}{4}\overrightarrow{OA} + \frac{1}{2}\overrightarrow{OB} + \frac{3}{4}\overrightarrow{OC} \quad \cdots ②$

を満たす点とする。$O, A, B, C$ は同一平面上にないため、このような点 $P$ は空間内にただ一つ定まり、その位置は $s, t, u$ の値に無関係である。 $\overrightarrow{OA} = \frac{1}{s}\overrightarrow{OL}, \overrightarrow{OB} = \frac{1}{t}\overrightarrow{OM}, \overrightarrow{OC} = \frac{1}{u}\overrightarrow{ON}$ であるから、これを②に代入すると、

$\overrightarrow{OP} = \frac{1}{4s}\overrightarrow{OL} + \frac{1}{2t}\overrightarrow{OM} + \frac{3}{4u}\overrightarrow{ON}$

①より、$\overrightarrow{OL}, \overrightarrow{OM}, \overrightarrow{ON}$ の係数の和は $1$ になる。したがって、点 $P$ は平面 $LMN$ 上にある。以上により、平面 $LMN$ は $s, t, u$ に無関係な一定の点 $P$（②で定まる点）を通る。

次に、そのような点 $P$ がただ一つであることを示す。平面 $LMN$ が、条件を満たすあらゆる $s, t, u$ について定点 $P'$ を通ると仮定する。 $O, A, B, C$ は同一平面上にないため、実数 $p, q, r$ を用いて $\overrightarrow{OP'} = p\overrightarrow{OA} + q\overrightarrow{OB} + r\overrightarrow{OC}$ と一意に表せる。点 $P'$ は平面 $LMN$ 上にあるので、

$\overrightarrow{OP'} = \frac{p}{s}\overrightarrow{OL} + \frac{q}{t}\overrightarrow{OM} + \frac{r}{u}\overrightarrow{ON}$

と表されたときの係数の和が $1$ となる。すなわち、

$\frac{p}{s} + \frac{q}{t} + \frac{r}{u} = 1 \quad \cdots ③$

③が、①を満たす「あらゆる」$0$ でない実数 $s, t, u$ について成り立つ必要がある。 ①より $\frac{1}{u} = \frac{4}{3} - \frac{1}{3s} - \frac{2}{3t}$ であり、これを③に代入すると

$\frac{p}{s} + \frac{q}{t} + r\left(\frac{4}{3} - \frac{1}{3s} - \frac{2}{3t}\right) = 1$

$\left(p - \frac{1}{3}r\right)\frac{1}{s} + \left(q - \frac{2}{3}r\right)\frac{1}{t} + \frac{4}{3}r - 1 = 0$

これが、$\frac{4}{3} - \frac{1}{3s} - \frac{2}{3t} \neq 0$ を満たす任意の $s, t$ に対して恒等的に成り立つので、

$p - \frac{1}{3}r = 0, \quad q - \frac{2}{3}r = 0, \quad \frac{4}{3}r - 1 = 0$

これを解くと、$r = \frac{3}{4}, p = \frac{1}{4}, q = \frac{1}{2}$ となり、これは②の係数と一致する。よって、そのような定点 $P$ はただ一つに定まる。（証明終）

(2)

(1) より、$\overrightarrow{OP} = \frac{1}{4}\overrightarrow{OA} + \frac{1}{2}\overrightarrow{OB} + \frac{3}{4}\overrightarrow{OC}$ である。直線 $OP$ と平面 $ABC$ の交点を $Q$ とすると、点 $Q$ は直線 $OP$ 上にあるから、実数 $k$ を用いて

$\overrightarrow{OQ} = k\overrightarrow{OP} = \frac{k}{4}\overrightarrow{OA} + \frac{k}{2}\overrightarrow{OB} + \frac{3k}{4}\overrightarrow{OC}$

と表せる。また、点 $Q$ は平面 $ABC$ 上にあるので、係数の和は $1$ である。

$\frac{k}{4} + \frac{k}{2} + \frac{3k}{4} = 1$

$\frac{6k}{4} = 1 \iff k = \frac{2}{3}$

したがって、$\overrightarrow{OQ} = \frac{2}{3}\overrightarrow{OP}$ であり、すなわち $\overrightarrow{OP} = \frac{3}{2}\overrightarrow{OQ}$ である。これより、点 $O, Q, P$ はこの順に同一直線上に並び、$OQ : QP = 1 : \left(\frac{3}{2} - 1\right) = 1 : \frac{1}{2} = 2 : 1$ となる。四面体 $OABC$ と四面体 $PABC$ は、底面 $\triangle ABC$ を共有しているため、その体積比は点 $O, P$ から平面 $ABC$ に下ろした垂線の長さの比に等しい。この比は線分の長さの比 $OQ : PQ$ に等しいため、四面体 $PABC$ の高さは四面体 $OABC$ の高さの $\frac{1}{2}$ 倍である。よって、四面体 $PABC$ の体積は $\frac{1}{2}V$ である。

解説

空間ベクトルの基本定理（同一平面上にある条件と係数和）を適切に活用する問題です。 (1) の後半「ただ一つに定まる」ことの証明は、特定のパラメータについての恒等式に帰着させて係数比較を行うことで厳密に示せます。(2) はベクトルの係数和を調整して平面との交点を見つける典型的な手法が使えます。計算量も少なく、発想さえスムーズなら短時間で完答できる良問です。