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九州大学 1961年文系第4問解説

方針・初手

(1) 与えられた四次関数を微分し、導関数 $f'(x) = 0$ となる $x$ の値を求めて増減表を作成する。

(2) (1) で得られた極値と増減表、さらに $y$ 軸との交点（$x=0$ のときの値）を用いて、グラフの概形を把握する。グラフと $x$ 軸との交点の位置（$x > 0$ か $x < 0$ か）を調べることで、正根と負根の個数を特定する。

解法1

(1)

$f(x) = x^4 - 4x^3 - 2x^2 + 12x + 1$ を $x$ で微分する。

$$\begin{aligned} f'(x) &= 4x^3 - 12x^2 - 4x + 12 \\ &= 4(x^3 - 3x^2 - x + 3) \\ &= 4\{x^2(x - 3) - (x - 3)\} \\ &= 4(x^2 - 1)(x - 3) \\ &= 4(x + 1)(x - 1)(x - 3) \end{aligned}$$

$f'(x) = 0$ とすると、$x = -1, 1, 3$ である。

したがって、$f(x)$ の増減表は次のようになる。

$$\begin{array}{c|ccccccc} x & \cdots & -1 & \cdots & 1 & \cdots & 3 & \cdots \\ \hline f'(x) & - & 0 & + & 0 & - & 0 & + \\ \hline f(x) & \searrow & -8 & \nearrow & 8 & \searrow & -8 & \nearrow \end{array}$$

極値はそれぞれ以下の通り計算できる。

$x = -1$ のとき

$$f(-1) = (-1)^4 - 4(-1)^3 - 2(-1)^2 + 12(-1) + 1 = -8$$

$x = 1$ のとき

$$f(1) = 1^4 - 4(1)^3 - 2(1)^2 + 12(1) + 1 = 8$$

$x = 3$ のとき

$$f(3) = 3^4 - 4(3)^3 - 2(3)^2 + 12(3) + 1 = 81 - 108 - 18 + 36 + 1 = -8$$

よって、極値は $x=1$ で極大値 $8$、$x=-1, 3$ で極小値 $-8$ となる。

(2)

方程式 $f(x) = 0$ の実数解は、$y = f(x)$ のグラフと $x$ 軸（直線 $y=0$）の交点の $x$ 座標に等しい。

また、$y$ 軸との交点の $y$ 座標は、

$$f(0) = 1 > 0$$

である。

(1) の増減表と極値、および $f(0) > 0$ であることから、グラフと $x$ 軸の交点について以下が分かる。

$x < -1$ の区間では、$f(x)$ は単調減少し、$\lim_{x \to -\infty} f(x) = \infty$ であり、$f(-1) = -8 < 0$ であるため、$x < -1$ の範囲で $x$ 軸と1回交わる。（負根1つ）
$-1 < x < 1$ の区間では、$f(x)$ は単調増加し、$f(-1) = -8 < 0$、$f(0) = 1 > 0$、$f(1) = 8 > 0$ であるため、$-1 < x < 0$ の範囲で $x$ 軸と1回交わる。（負根1つ）
$1 < x < 3$ の区間では、$f(x)$ は単調減少し、$f(1) = 8 > 0$、$f(3) = -8 < 0$ であるため、$1 < x < 3$ の範囲で $x$ 軸と1回交わる。（正根1つ）
$x > 3$ の区間では、$f(x)$ は単調増加し、$f(3) = -8 < 0$、$\lim_{x \to \infty} f(x) = \infty$ であるため、$x > 3$ の範囲で $x$ 軸と1回交わる。（正根1つ）

以上より、グラフは $y$ 軸より左側（$x < 0$）で $x$ 軸と2回交わり、$y$ 軸より右側（$x > 0$）で $x$ 軸と2回交わる。

したがって、正根の個数は2個、負根の個数は2個である。

解説

四次関数のグラフの概形から方程式の実数解の個数を求める典型的な問題である。

単に実数解の総数を問うのではなく、「正根」「負根」に分けて個数を問われている点がポイントである。この場合、極値の符号だけでなく、境界となる $x = 0$ での関数値（つまり $y$ 切片の符号）を調べる必要がある。増減表の各区間や極値の情報に加えて、$f(0)$ の符号を確認することで、グラフが $y$ 軸の左右どちらで $x$ 軸と交わるかを厳密に示せる。