九州大学 1964年 文系 第1問 解説

方針・初手

与えられた等式から $y$ と $z$ の和 $y+z$ および積 $yz$ を $x$ の式で表す。$y$ と $z$ が実数であるという条件を、これらを2解にもつ2次方程式が実数解をもつ条件（判別式 $D \geqq 0$）に帰着させて $x$ の範囲を絞り込む。

解法1

与えられた条件式は以下の通りである。

$$\begin{aligned} x+y+z &= 3 \\ xy+yz+zx &= -9 \end{aligned}$$

1つ目の式から $y+z$ を $x$ を用いて表す。

$$y+z = 3-x$$

2つ目の式を変形し、$yz$ を $x$ を用いて表す。

$$\begin{aligned} x(y+z) + yz &= -9 \\ yz &= -9 - x(y+z) \\ &= -9 - x(3-x) \\ &= x^2 - 3x - 9 \end{aligned}$$

ここで、$y$ と $z$ は実数であるから、これらを2つの解とする $t$ についての2次方程式が実数解をもたなければならない。解と係数の関係より、その2次方程式は次のように表される。

$$t^2 - (3-x)t + (x^2 - 3x - 9) = 0$$

この2次方程式の判別式を $D$ とすると、実数解をもつ条件は $D \geqq 0$ である。

$$\begin{aligned} D &= \{-(3-x)\}^2 - 4 \cdot 1 \cdot (x^2 - 3x - 9) \\ &= (9 - 6x + x^2) - (4x^2 - 12x - 36) \\ &= -3x^2 + 6x + 45 \end{aligned}$$

したがって、不等式 $-3x^2 + 6x + 45 \geqq 0$ を解けばよい。両辺を $-3$ で割って整理する。

$$\begin{aligned} x^2 - 2x - 15 &\leqq 0 \\ (x+3)(x-5) &\leqq 0 \end{aligned}$$

これを解いて、求める $x$ の値の範囲は以下のようになる。

$$-3 \leqq x \leqq 5$$

解法2

式の対称性と、実数の平方が $0$ 以上になる性質を利用する。

まず、$x^2+y^2+z^2$ の値を求める。

$$\begin{aligned} x^2+y^2+z^2 &= (x+y+z)^2 - 2(xy+yz+zx) \\ &= 3^2 - 2 \cdot (-9) \\ &= 9 + 18 \\ &= 27 \end{aligned}$$

これと $x+y+z = 3$ より、$y, z$ についての以下の関係式を得る。

$$\begin{aligned} y+z &= 3-x \\ y^2+z^2 &= 27-x^2 \end{aligned}$$

ここで、$y, z$ は実数であるから、$(y-z)^2 \geqq 0$ が成り立つ。この式を展開して変形する。

$$\begin{aligned} y^2 - 2yz + z^2 &\geqq 0 \\ 2(y^2+z^2) - (y^2+2yz+z^2) &\geqq 0 \\ 2(y^2+z^2) - (y+z)^2 &\geqq 0 \end{aligned}$$

この不等式に、先ほど求めた $y+z$ と $y^2+z^2$ の式を代入する。

$$\begin{aligned} 2(27-x^2) - (3-x)^2 &\geqq 0 \\ 54 - 2x^2 - (9 - 6x + x^2) &\geqq 0 \\ -3x^2 + 6x + 45 &\geqq 0 \end{aligned}$$

両辺を $-3$ で割り、因数分解する。

$$\begin{aligned} x^2 - 2x - 15 &\leqq 0 \\ (x+3)(x-5) &\leqq 0 \end{aligned}$$

これを解いて、求める $x$ の値の範囲を得る。

$$-3 \leqq x \leqq 5$$

解説

3変数の対称式（あるいは基本対称式の一部）が与えられ、特定の1変数のとりうる値の範囲を求める典型問題である。

他の2変数を「2次方程式の解」とみなし、その方程式が実数解をもつ条件（判別式 $D \geqq 0$）に持ち込むのが最も確実な定石である。解法2のように、コーシー・シュワルツの不等式と同値な実数の平方条件 $(y-z)^2 \geqq 0$ に帰着させる手法も、図形的な最大・最小問題などで応用が利くため習得しておきたい。

答え

$$-3 \leqq x \leqq 5$$