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九州大学 1962年文系第8問解説

方針・初手

(1)は $x$ 軸との交点なら $y=0$、$y$ 軸との交点なら $x=0$ をそれぞれ代入して方程式を解く。分母が $0$ になる $x=1$ が定義域外であることに注意する。
(2)は関数を微分して点 $P$ における接線の方程式を立てる。接線の傾き $m$ と $y$ 切片 $n$ を $\alpha$ の式で表し、$\alpha \to \pm\infty$ の極限を計算する。
(3)は(2)で求めた導関数を利用して $y'=0$ となる $x$ を求め、増減表を作成する。(1)で求めた交点、(2)で求めた漸近線 $y=x+4$ と垂直漸近線 $x=1$ を考慮してグラフを描く。

解法1

(1)

曲線①の式は以下の通りである。

$$y = x + 4 + \frac{4}{x - 1}$$

（ただし、分母は $0$ にならないため $x \neq 1$ である。）

$y$ 軸との交点の座標を求める。$x = 0$ を代入すると、

$$y = 0 + 4 + \frac{4}{0 - 1} = 4 - 4 = 0$$

よって、$y$ 軸との交点は $(0, 0)$ である。

$x$ 軸との交点の座標を求める。$y = 0$ を代入すると、

$$0 = x + 4 + \frac{4}{x - 1}$$

両辺に $x - 1 \neq 0$ をかけると、

$$0 = (x + 4)(x - 1) + 4$$

$$0 = x^2 + 3x - 4 + 4$$

$$x^2 + 3x = 0$$

$$x(x + 3) = 0$$

これを解いて $x = 0, -3$ となる。これらは条件 $x \neq 1$ を満たす。よって、$x$ 軸との交点は $(0, 0)$ と $(-3, 0)$ である。

以上より、求める交点の座標は $(0, 0)$ と $(-3, 0)$ である。

(2)

関数 $y$ を $x$ で微分する。

$$y' = 1 - \frac{4}{(x - 1)^2}$$

点 $P\left(\alpha, \alpha + 4 + \frac{4}{\alpha - 1}\right)$ における接線の傾き $m$ は、

$$m = 1 - \frac{4}{(\alpha - 1)^2}$$

接線の方程式は、

$$y - \left(\alpha + 4 + \frac{4}{\alpha - 1}\right) = m(x - \alpha)$$

$$y = m(x - \alpha) + \alpha + 4 + \frac{4}{\alpha - 1}$$

この直線の $y$ 切片 $n$ は、上の式に $x = 0$ を代入したときの $y$ の値であるから、

$$n = -m\alpha + \alpha + 4 + \frac{4}{\alpha - 1}$$

$m$ の式を代入して整理する。

$$n = -\alpha\left\{1 - \frac{4}{(\alpha - 1)^2}\right\} + \alpha + 4 + \frac{4}{\alpha - 1}$$

$$n = -\alpha + \frac{4\alpha}{(\alpha - 1)^2} + \alpha + 4 + \frac{4}{\alpha - 1}$$

$$n = 4 + \frac{4\alpha}{(\alpha - 1)^2} + \frac{4(\alpha - 1)}{(\alpha - 1)^2}$$

$$n = 4 + \frac{8\alpha - 4}{(\alpha - 1)^2}$$

次に、$m, n$ の極限を求める。

$$\lim_{\alpha \to \pm\infty} m = \lim_{\alpha \to \pm\infty} \left\{1 - \frac{4}{(\alpha - 1)^2}\right\} = 1 - 0 = 1$$

$$\lim_{\alpha \to \pm\infty} n = \lim_{\alpha \to \pm\infty} \left\{4 + \frac{\frac{8}{\alpha} - \frac{4}{\alpha^2}}{\left(1 - \frac{1}{\alpha}\right)^2}\right\} = 4 + \frac{0 - 0}{(1 - 0)^2} = 4$$

よって、$\alpha \to \pm\infty$ のとき、接線の傾きは $1$、切片は $4$ に限りなく近づく。したがって、点 $P$ における曲線①の接線は、直線 $y = x + 4$ に限りなく近づく。

(3)

(2)より、導関数は以下のように変形できる。

$$y' = 1 - \frac{4}{(x - 1)^2} = \frac{(x - 1)^2 - 4}{(x - 1)^2} = \frac{x^2 - 2x - 3}{(x - 1)^2} = \frac{(x + 1)(x - 3)}{(x - 1)^2}$$

$y' = 0$ とすると、$x = -1, 3$ である。関数の増減表は以下のようになる。

$x$	$\cdots$	$-1$	$\cdots$	$1$	$\cdots$	$3$	$\cdots$
$y'$	$+$	$0$	$-$	$\times$	$-$	$0$	$+$
$y$	$\nearrow$	極大	$\searrow$	$\times$	$\searrow$	極小	$\nearrow$

$x = -1$ のとき

$$y = -1 + 4 + \frac{4}{-1 - 1} = 3 - 2 = 1$$

$x = 3$ のとき

$$y = 3 + 4 + \frac{4}{3 - 1} = 7 + 2 = 9$$

よって、極大値は $1$ ($x = -1$ のとき)、極小値は $9$ ($x = 3$ のとき) である。

グラフを描く際には、増減表の結果に加え、(1)より点 $(0, 0)$ と $(-3, 0)$ を通ること、定義域より直線 $x = 1$ が垂直漸近線であること、および(2)より直線 $y = x + 4$ が斜め漸近線であることを反映させる。

解説

分数関数のグラフを描くための標準的な誘導問題である。 (2)の操作は、接線の極限が漸近線に一致することを示すものであり、曲線 $y=f(x)$ の漸近線 $y=ax+b$ を求めるためのもうひとつの視点を与えている。計算の際は、分母の次数が分子の次数より高くなるように式を整理すると、極限が求めやすくなる。グラフの描画にあたっては、極値だけでなく、交点と漸近線の情報を含めることで、より正確な概形を描くことができる。