トップ› 九州大学› 1962年› 文系第5問

九州大学 1962年文系第5問解説

方針・初手

(1) は、 $x = 0$ または $y = 0$ を代入して交点の座標を計算する。

(2) は、導関数を求めて接線の方程式を立て、その傾き $m$ と $y$切片 $n$ を $\alpha$ の式で表してから $\alpha \to \pm\infty$ の極限を計算する。

(3) は、導関数 $y'$ から増減表を作成し極値を求める。さらに、(1)での交点、(2)で極限として求めた漸近線、および分母が $0$ になる垂直漸近線を意識して、グラフを描くための情報を整理する。

解法1

(1)

曲線①の式は次のように変形できる。

$$y = x + 4 + \frac{4}{x - 1} = \frac{(x + 4)(x - 1) + 4}{x - 1} = \frac{x^2 + 3x}{x - 1}$$

$x$軸との交点の座標は、$y = 0$ として、

$$\frac{x^2 + 3x}{x - 1} = 0$$

$$x(x + 3) = 0$$

これより $x = 0, -3$ となるため、 $x$軸との交点の座標は $(0, 0), (-3, 0)$ である。

$y$軸との交点の座標は、$x = 0$ として、

$$y = 0 + 4 + \frac{4}{0 - 1} = 0$$

これより $y$軸との交点の座標は $(0, 0)$ である。

以上より、求める交点の座標は $(0, 0), (-3, 0)$ である。

(2)

曲線①の式を微分すると、以下のようになる。

$$y' = 1 - \frac{4}{(x - 1)^2}$$

点 $P\left(\alpha, \alpha + 4 + \frac{4}{\alpha - 1}\right)$ における接線の傾き $m$ は、 $x = \alpha$ を代入して、

$$m = 1 - \frac{4}{(\alpha - 1)^2}$$

接線の方程式は、

$$y - \left(\alpha + 4 + \frac{4}{\alpha - 1}\right) = \left\{1 - \frac{4}{(\alpha - 1)^2}\right\}(x - \alpha)$$

$$y = \left\{1 - \frac{4}{(\alpha - 1)^2}\right\}x - \alpha\left\{1 - \frac{4}{(\alpha - 1)^2}\right\} + \alpha + 4 + \frac{4}{\alpha - 1}$$

$y$切片 $n$ は、 $x = 0$ を代入したときの $y$ の値であるから、

$$n = -\alpha + \frac{4\alpha}{(\alpha - 1)^2} + \alpha + 4 + \frac{4}{\alpha - 1}$$

$$n = 4 + \frac{4\alpha}{(\alpha - 1)^2} + \frac{4(\alpha - 1)}{(\alpha - 1)^2}$$

$$n = 4 + \frac{8\alpha - 4}{(\alpha - 1)^2}$$

ここで、極限 $\lim_{\alpha \to \pm\infty} m$ および $\lim_{\alpha \to \pm\infty} n$ を求める。

$$\lim_{\alpha \to \pm\infty} m = \lim_{\alpha \to \pm\infty} \left\{1 - \frac{4}{(\alpha - 1)^2}\right\} = 1 - 0 = 1$$

$$\lim_{\alpha \to \pm\infty} n = \lim_{\alpha \to \pm\infty} \left\{4 + \frac{\frac{8}{\alpha} - \frac{4}{\alpha^2}}{\left(1 - \frac{1}{\alpha}\right)^2}\right\} = 4 + \frac{0 - 0}{(1 - 0)^2} = 4$$

したがって、 $\alpha \to \pm\infty$ のとき、接線の傾きは $1$ に、 $y$切片は $4$ に限りなく近づく。よって、点 $P$ における接線は直線 $y = x + 4$ に限りなく近づく。その方程式は $y = x + 4$ である。

(3)

(2)で求めた導関数 $y'$ を通分して因数分解する。

$$y' = 1 - \frac{4}{(x - 1)^2} = \frac{(x - 1)^2 - 4}{(x - 1)^2} = \frac{(x - 1 - 2)(x - 1 + 2)}{(x - 1)^2} = \frac{(x - 3)(x + 1)}{(x - 1)^2}$$

$y' = 0$ となるのは $x = -1, 3$ のときである。また、定義域は分母が $0$ にならない実数全体であるから、 $x \neq 1$ である。 $y$ の増減表は以下のようになる。

$$\begin{array}{c|ccccccc} x & \cdots & -1 & \cdots & (1) & \cdots & 3 & \cdots \\ \hline y' & + & 0 & - & \times & - & 0 & + \\ \hline y & \nearrow & 1 & \searrow & \times & \searrow & 9 & \nearrow \end{array}$$

これより、以下のように極値が求まる。 $x = -1$ のとき、極大値 $y = -1 + 4 + \frac{4}{-1 - 1} = 1$ $x = 3$ のとき、極小値 $y = 3 + 4 + \frac{4}{3 - 1} = 9$

グラフを描くための漸近線は以下の2本である。

(2)の結果（または $\lim_{x \to \pm\infty} \{y - (x + 4)\} = 0$）より、直線 $y = x + 4$
$\lim_{x \to 1+0} y = \infty$、 $\lim_{x \to 1-0} y = -\infty$ より、直線 $x = 1$

座標平面上にグラフを描く際は、これらの漸近線を点線で示し、極大点 $(-1, 1)$、極小点 $(3, 9)$、および(1)で求めた座標軸との交点 $(0, 0), (-3, 0)$ を通るように曲線を滑らかに結ぶ。（図は省略）

解説

分数関数のグラフを描かせる典型的な微積分・極限の総合問題である。

(1) は交点の計算であり、分母を払う際に定義域の $x \neq 1$ に注意する。 (2) は曲線上の点における接線を極限操作することで、曲線の漸近線を導くという構成になっている。通常、斜め漸近線は $\lim_{x \to \pm\infty} \{f(x) - (ax + b)\} = 0$ を用いて見つけるが、ここでは接線の極限として漸近線を視覚的・解析的に捉えさせる工夫がされている。 (3) は極値の計算とグラフの描画である。増減表を作成する際は、分母が $0$ となる $x = 1$ を表に組み込み、そこで関数が不連続になることを明確にしておく必要がある。実際の解答用紙には、(1)の交点、(2)の斜め漸近線 $y=x+4$、垂直漸近線 $x=1$、および極値をすべてプロットし、それらの位置関係に矛盾がないように双曲線を歪めたような曲線を描き入れる。