大阪大学 2019年 文系 第1問 解説

方針・初手

（1） については、第3の不等式の左辺に対して三角関数の合成を用い、$x+y$ に関する不等式を導く。その後、$x+y$ の取りうる値の範囲に注意して不等式を解き、領域を図示する。

（2） については、線形計画法の典型問題として扱う。$2x+y = k$ とおき、この直線が （1） で求めた領域 $\mathrm{D}$ と共有点をもつような $k$ の最大値と最小値を求める。直線の傾きと領域の境界線の傾きを比較することで、どの頂点で最大・最小となるかを判断する。

解法1

(1)

与えられた連立不等式は以下の通りである。

$$ \begin{cases} 0 \leqq x \leqq \pi \\ 0 \leqq y \leqq \pi \\ 2 \sin(x + y) - 2 \cos(x + y) \geqq \sqrt{2} \end{cases} $$

第3の不等式の左辺について、三角関数の合成を行うと以下のようになる。

$$ 2 \sin(x + y) - 2 \cos(x + y) = 2\sqrt{2} \sin\left(x + y - \frac{\pi}{4}\right) $$

したがって、第3の不等式は次のように変形できる。

$$ 2\sqrt{2} \sin\left(x + y - \frac{\pi}{4}\right) \geqq \sqrt{2} $$

$$ \sin\left(x + y - \frac{\pi}{4}\right) \geqq \frac{1}{2} $$

ここで、$0 \leqq x \leqq \pi$ かつ $0 \leqq y \leqq \pi$ より、$x+y$ のとりうる値の範囲は以下のようになる。

$$ 0 \leqq x + y \leqq 2\pi $$

このとき、偏角 $x + y - \frac{\pi}{4}$ のとりうる値の範囲は以下の通りである。

$$ -\frac{\pi}{4} \leqq x + y - \frac{\pi}{4} \leqq \frac{7\pi}{4} $$

この範囲において、不等式 $\sin\left(x + y - \frac{\pi}{4}\right) \geqq \frac{1}{2}$ を解くと、以下のようになる。

$$ \frac{\pi}{6} \leqq x + y - \frac{\pi}{4} \leqq \frac{5\pi}{6} $$

各辺に $\frac{\pi}{4}$ を加えて整理する。

$$ \frac{5\pi}{12} \leqq x + y \leqq \frac{13\pi}{12} $$

以上より、領域 $\mathrm{D}$ は、以下の3つの不等式を同時に満たす点 $(x, y)$ の集合である。

$$ \begin{cases} 0 \leqq x \leqq \pi \\ 0 \leqq y \leqq \pi \\ \frac{5\pi}{12} \leqq x + y \leqq \frac{13\pi}{12} \end{cases} $$

この領域は、$xy$ 平面上において、正方形 $0 \leqq x \leqq \pi, 0 \leqq y \leqq \pi$ の周および内部のうち、2直線 $x+y = \frac{5\pi}{12}$ と $x+y = \frac{13\pi}{12}$ に挟まれた部分である。

具体的には、以下の6点 $P_1, P_2, P_3, P_4, P_5, P_6$ を順に結んだ六角形の周および内部となる。

$$ P_1 \left( \frac{5\pi}{12}, 0 \right), \quad P_2 (\pi, 0), \quad P_3 \left( \pi, \frac{\pi}{12} \right), \quad P_4 \left( \frac{\pi}{12}, \pi \right), \quad P_5 (0, \pi), \quad P_6 \left( 0, \frac{5\pi}{12} \right) $$

(2)

$2x + y = k$ とおく。これを $y$ について解くと以下のようになる。

$$ y = -2x + k $$

これは、$xy$ 平面において傾きが $-2$、 $y$ 切片が $k$ の直線を表す。この直線が領域 $\mathrm{D}$ と共有点をもつときの $y$ 切片 $k$ の最大値と最小値を求めればよい。

直線 $y = -2x + k$ の傾き $-2$ は、領域の境界の一部である直線 $x+y = c$ の傾き $-1$ よりも小さく（傾きが急である）、さらに $y$ 軸（傾きを持たない、すなわち垂直）との間に位置する。

したがって、直線 $y = -2x + k$ を平行移動させていったとき、領域 $\mathrm{D}$ と共有点をもつ $k$ の最大値・最小値は、領域の頂点のいずれかを通るときに生じる。各頂点における $k = 2x + y$ の値を計算する。

• $P_1 \left( \frac{5\pi}{12}, 0 \right)$ のとき: $k = 2 \times \frac{5\pi}{12} + 0 = \frac{5\pi}{6} = \frac{10\pi}{12}$
• $P_2 (\pi, 0)$ のとき: $k = 2\pi + 0 = 2\pi = \frac{24\pi}{12}$
• $P_3 \left( \pi, \frac{\pi}{12} \right)$ のとき: $k = 2\pi + \frac{\pi}{12} = \frac{25\pi}{12}$
• $P_4 \left( \frac{\pi}{12}, \pi \right)$ のとき: $k = 2 \times \frac{\pi}{12} + \pi = \frac{7\pi}{6} = \frac{14\pi}{12}$
• $P_5 (0, \pi)$ のとき: $k = 0 + \pi = \pi = \frac{12\pi}{12}$
• $P_6 \left( 0, \frac{5\pi}{12} \right)$ のとき: $k = 0 + \frac{5\pi}{12} = \frac{5\pi}{12}$

以上の結果より、点 $(x, y)$ が点 $P_3 \left( \pi, \frac{\pi}{12} \right)$ にあるときに $k$ は最大となり、点 $P_6 \left( 0, \frac{5\pi}{12} \right)$ にあるときに $k$ は最小となる。

解説

（1） は三角関数の合成と偏角の範囲に注意して不等式を解く基本問題である。角度の範囲を確認せずに不用意に解くと、条件を見落とす可能性があるため、$x+y-\frac{\pi}{4}$ のとりうる範囲を明記することが重要である。領域を図示する際は、境界となる直線の交点の座標を正確に求めることが、後の設問の正確性に直結する。

（2） は図形と方程式における線形計画法の典型的な問題である。定石通り $2x+y=k$ とおき、直線と領域が共有点をもつための $y$ 切片 $k$ の範囲を考える。直線の傾きと領域を囲む線分の傾きを比較することで、最大・最小をとる頂点の目星をつけることができるが、確実を期すために本解法のようにすべての頂点における値を計算して比較するのも安全な方法である。

答え

(1)

点 $\left( 0, \frac{5\pi}{12} \right)$, $\left( \frac{5\pi}{12}, 0 \right)$, $(\pi, 0)$, $\left( \pi, \frac{\pi}{12} \right)$, $\left( \frac{\pi}{12}, \pi \right)$, $(0, \pi)$ を順に結んでできる六角形の周および内部。

(2)

最大値 $\frac{25\pi}{12}$, 最小値 $\frac{5\pi}{12}$