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東京大学 2012年理系第1問解説

方針・初手

直線 $l$ 上の点を極座標で表すことで、円と直線の交点、および直線 $x = \frac{\sqrt{2}}{3}$ と直線の交点を角度 $\theta$ の式として簡単に表現できる。そこから領域 $D$ 内にある線分の長さ $L$ を $\theta$ の関数として立式し、微分を用いて最大値を求める。

解法1

直線 $l$ は原点を通り、$x$ 軸正の向きとのなす角が $\theta$ $\left(0 < \theta < \frac{\pi}{2}\right)$ であるから、$l$ 上の点は原点からの距離を $r$ （$r \geqq 0$）として $(r\cos\theta, r\sin\theta)$ と表せる。

この点が領域 $D$ に含まれる条件を求める。まず、円の内部および周に含まれる条件は、不等式 $x^2 + (y-1)^2 \leqq 1$ に代入して

$$ (r\cos\theta)^2 + (r\sin\theta - 1)^2 \leqq 1 $$

$$ r^2\cos^2\theta + r^2\sin^2\theta - 2r\sin\theta + 1 \leqq 1 $$

$$ r^2 - 2r\sin\theta \leqq 0 $$

$r > 0$ より、

$$ 0 < r \leqq 2\sin\theta $$

次に、直線 $x = \frac{\sqrt{2}}{3}$ の右側に含まれる条件は、

$$ r\cos\theta \geqq \frac{\sqrt{2}}{3} $$

$0 < \theta < \frac{\pi}{2}$ より $\cos\theta > 0$ であるから、

$$ r \geqq \frac{\sqrt{2}}{3\cos\theta} $$

直線 $l$ と領域 $D$ の共通部分が線分となるのは、この $r$ の存在範囲が存在するときであり、その条件は

$$ \frac{\sqrt{2}}{3\cos\theta} < 2\sin\theta \iff \sin\theta\cos\theta > \frac{\sqrt{2}}{6} $$

このとき、線分の長さ $L$ は $r$ の取り得る範囲の長さそのものであるから、

$$ L = 2\sin\theta - \frac{\sqrt{2}}{3\cos\theta} $$

$L$ を $\theta$ で微分すると、

$$ \frac{dL}{d\theta} = 2\cos\theta - \frac{\sqrt{2}}{3} \cdot \left( -\frac{-\sin\theta}{\cos^2\theta} \right) = \frac{6\cos^3\theta - \sqrt{2}\sin\theta}{3\cos^2\theta} $$

$\frac{dL}{d\theta} = 0$ となる $\theta$ を考える。$0 < \theta < \frac{\pi}{2}$ のとき $\cos\theta > 0, \sin\theta > 0$ であるから、$6\cos^3\theta - \sqrt{2}\sin\theta = 0$ より

$$ 6\cos^3\theta = \sqrt{2}\sin\theta $$

両辺を2乗して整理すると、

$$ 36\cos^6\theta = 2\sin^2\theta $$

$$ 18\cos^6\theta = 1 - \cos^2\theta $$

$$ 18\cos^6\theta + \cos^2\theta - 1 = 0 $$

$X = \cos^2\theta$ とおくと、$0 < X < 1$ であり、方程式は

$$ 18X^3 + X - 1 = 0 $$

左辺を因数分解すると、

$$ (3X - 1)(6X^2 + 2X + 1) = 0 $$

$6X^2 + 2X + 1 = 6\left(X + \frac{1}{6}\right)^2 + \frac{5}{6} > 0$ であるから、実数解は $X = \frac{1}{3}$ のみである。よって、$\cos^2\theta = \frac{1}{3}$ であり、$0 < \theta < \frac{\pi}{2}$ より

$$ \cos\theta = \frac{1}{\sqrt{3}} $$

このとき、

$$ \sin\theta = \sqrt{1 - \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} $$

（このとき $\sin\theta\cos\theta = \frac{\sqrt{2}}{3} > \frac{\sqrt{2}}{6}$ を満たしており、共通部分は確かに線分となる。）

ここで、関数 $f(\theta) = 6\cos^3\theta - \sqrt{2}\sin\theta$ の増減を考える。 $0 < \theta < \frac{\pi}{2}$ において $\theta$ が増加するとき、$\cos\theta$ は減少し $\sin\theta$ は増加するため、$f(\theta)$ は単調に減少する。したがって、$\cos\theta = \frac{1}{\sqrt{3}}$ となる角を境に、$\frac{dL}{d\theta}$ の符号は正から負へと変化する。ゆえに、$L$ はこのとき最大値をとる。

最大値は、

$$ L = 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} - \frac{\sqrt{2}}{3 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}}} = \frac{2\sqrt{6}}{3} - \frac{\sqrt{6}}{3} = \frac{\sqrt{6}}{3} $$

解説

図形的な線分の長さを扱う問題では、直線上の点をパラメータ表示（極座標表示）にすることで計算量を劇的に減らすことができる。$x, y$ のまま交点座標を求めて2点間の距離の公式を使うと、ルートの中に複雑な式が入り計算ミスを誘発しやすい。また、導関数の符号変化を調べる際、方程式を解くために2乗した場合は、同値性を担保するか、十分性の確認（求まった値で本当に元の式を満たすか）を行う習慣をつけたい。本問では増減の様子を単調減少性から簡潔に示している。