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九州大学 1965年文系第3問解説

方針・初手

対数不等式を解く際の鉄則として、まず「真数条件」を求める。真数は正であるという条件から $x$ の範囲を絞り込む。その後、底の変換公式を用いて対数の底を揃える（ここでは $2$ と $4$ なので、$2$ に揃えるのが定石）。対数の性質を用いて不等式を整理し、対数を外して $x$ についての2次不等式に帰着させる。

解法1

まず、対数の真数は正であるから、真数条件は

$$\begin{cases} 4+x-x^2 > 0 \\ 1-x > 0 \end{cases}$$

これを整理して

$$\begin{cases} x^2-x-4 < 0 \\ x < 1 \end{cases}$$

$x^2-x-4=0$ の解は $x = \frac{1\pm\sqrt{17}}{2}$ であるから、第1式の解は

$$\frac{1-\sqrt{17}}{2} < x < \frac{1+\sqrt{17}}{2}$$

ここで、$4 < \sqrt{17} < 5$ より $\frac{1+\sqrt{17}}{2} > \frac{5}{2} > 1$ であるため、これと $x < 1$ の共通範囲をとって、真数条件を満たす $x$ の範囲は

$$\frac{1-\sqrt{17}}{2} < x < 1 \quad \cdots \text{(1)}$$

次に、与えられた不等式を変形する。底の変換公式を用いて底を $2$ に揃えると、$\log_4(4+x-x^2) = \frac{\log_2(4+x-x^2)}{\log_2 4} = \frac{1}{2}\log_2(4+x-x^2)$ となるから、与式は

$$\frac{1}{2}\log_2(4+x-x^2) - \log_2(1-x) \leqq \frac{1}{2}$$

両辺を $2$ 倍して整理すると

$$\log_2(4+x-x^2) - 2\log_2(1-x) \leqq 1$$

移項して対数の性質を用いると

$$\log_2(4+x-x^2) \leqq 1 + 2\log_2(1-x)$$

$$\log_2(4+x-x^2) \leqq \log_2 2 + \log_2(1-x)^2$$

$$\log_2(4+x-x^2) \leqq \log_2\{2(1-x)^2\}$$

対数の底 $2$ は $1$ より大きいから、真数の大小関係はそのまま保たれる。

$$4+x-x^2 \leqq 2(1-x)^2$$

$$4+x-x^2 \leqq 2(1-2x+x^2)$$

$$4+x-x^2 \leqq 2-4x+2x^2$$

$$3x^2-5x-2 \geqq 0$$

$$(3x+1)(x-2) \geqq 0$$

これを解いて

$$x \leqq -\frac{1}{3}, \quad 2 \leqq x \quad \cdots \text{(2)}$$

最後に、(1) と (2) の共通範囲を求める。

$\frac{1-\sqrt{17}}{2}$ と $-\frac{1}{3}$ の大小関係を調べる。$\sqrt{17} > 4$ より $\frac{1-\sqrt{17}}{2} < \frac{1-4}{2} = -\frac{3}{2}$ であるから、明らかに $\frac{1-\sqrt{17}}{2} < -\frac{1}{3}$ である。

したがって、(1) と (2) の共通範囲をとって、求める $x$ の値の範囲は

$$\frac{1-\sqrt{17}}{2} < x \leqq -\frac{1}{3}$$

解説

対数不等式における典型的な問題である。解答を進める上で以下の3点に気をつける必要がある。

真数条件の確認：不等式の変形を始める前に、必ず真数条件（真数 $> 0$）を確認し、最終的な解との共通範囲をとる。これを忘れると誤答となる。
引き算の処理：$\log_2(4+x-x^2) - \log_2(1-x)^2 \leqq 1$ から $\log_2 \frac{4+x-x^2}{(1-x)^2} \leqq 1$ と変形することも可能だが、分母を払う際に $(1-x)^2 > 0$ であることの確認が必要になる。本解答のように移項して足し算の形に直してから真数を比較することで、分数式を避け、ミスを減らすことができる。
底の大小関係：対数を外す際、底が $1$ より大きいか、$0$ より大きく $1$ より小さいかによって不等号の向きが変わる。底が $1$ より大きい（今回は $2$）ことを明記する記述が求められる。