トップ› 九州大学› 1965年› 文系第4問

九州大学 1965年文系第4問解説

方針・初手

$x=-1, 0, 1$ における $f(x)$ と $g(x)$ の値をそれぞれ計算し、与えられた式に代入する。得られた式を展開して整理すると、定数 $m$ と $n$ に関する2変数2次関数となる。これを $m$ と $n$ のそれぞれについて平方完成することで、式を最小にする $m, n$ の値を求める。

解法1

関数 $f(x) = x^3 + x^2 + 1$、および $g(x) = mx + n$ より、それぞれの $x = -1, 0, 1$ における値を計算する。

$$\begin{aligned} f(-1) &= (-1)^3 + (-1)^2 + 1 = -1 + 1 + 1 = 1 \\ f(0) &= 0^3 + 0^2 + 1 = 1 \\ f(1) &= 1^3 + 1^2 + 1 = 1 + 1 + 1 = 3 \end{aligned}$$

$$\begin{aligned} g(-1) &= -m + n \\ g(0) &= n \\ g(1) &= m + n \end{aligned}$$

最小化する対象の式を $S$ とおく。

$$S = \{f(-1) - g(-1)\}^2 + \{f(0) - g(0)\}^2 + \{f(1) - g(1)\}^2$$

求めた各関数の値を代入する。

$$\begin{aligned} S &= \{1 - (-m + n)\}^2 + (1 - n)^2 + \{3 - (m + n)\}^2 \\ &= (m - n + 1)^2 + (1 - n)^2 + (-m - n + 3)^2 \end{aligned}$$

各項を展開して整理する。

$$\begin{aligned} (m - n + 1)^2 &= m^2 + n^2 + 1 - 2mn + 2m - 2n \\ (1 - n)^2 &= n^2 - 2n + 1 \\ (-m - n + 3)^2 &= m^2 + n^2 + 9 + 2mn - 6m - 6n \end{aligned}$$

これらを足し合わせて $S$ を計算する。

$$\begin{aligned} S &= (m^2 + n^2 + 1 - 2mn + 2m - 2n) + (n^2 - 2n + 1) + (m^2 + n^2 + 9 + 2mn - 6m - 6n) \\ &= 2m^2 + 3n^2 - 4m - 10n + 11 \end{aligned}$$

得られた $S$ は $mn$ の項を含まないため、$m$ と $n$ の独立な2次関数として見ることができる。それぞれについて平方完成を行う。

$$\begin{aligned} S &= 2(m^2 - 2m) + 3\left(n^2 - \frac{10}{3}n\right) + 11 \\ &= 2(m - 1)^2 - 2\cdot 1^2 + 3\left(n - \frac{5}{3}\right)^2 - 3\cdot\left(\frac{5}{3}\right)^2 + 11 \\ &= 2(m - 1)^2 - 2 + 3\left(n - \frac{5}{3}\right)^2 - \frac{25}{3} + 11 \\ &= 2(m - 1)^2 + 3\left(n - \frac{5}{3}\right)^2 + 9 - \frac{25}{3} \\ &= 2(m - 1)^2 + 3\left(n - \frac{5}{3}\right)^2 + \frac{2}{3} \end{aligned}$$

$m, n$ は実数の定数であるから、常に $(m - 1)^2 \geqq 0$, $\left(n - \frac{5}{3}\right)^2 \geqq 0$ が成り立つ。したがって、$S$ は $m - 1 = 0$ かつ $n - \frac{5}{3} = 0$ のときに最小値をとる。

よって、与式を最小にする $m, n$ の値は以下の通りである。

$$m = 1, \quad n = \frac{5}{3}$$

解説

本問は、与えられた複数の $x$ の値において、2つの関数値の差の平方和を最小にする定数を求める問題である（最小二乗法に近い考え方）。式に値を代入して展開すると、2変数 $m, n$ の2次式が得られる。展開の際に $mn$ の項がうまく打ち消し合って消滅するため、変数ごとに独立して平方完成を行うという基本的な処理によって容易に最小値の条件を見つけることができる。計算ミスのないように丁寧に展開することがポイントである。