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九州大学 1969年文系第5問解説

方針・初手

2つの曲線の上下関係を調べるために、差をとって符号を確認します。面積の計算においては、積分区間が $a \leqq x \leqq a+1$ であり、$a \geqq 1$ であることに注意して被積分関数の正負を判定します。面積 $S$ を $a$ の関数として求めた後、微分を用いて増減を調べ、最小値を求めます。

解法1

(1)

2つの曲線の式の差をとって $f(x)$ とおく。

$$\begin{aligned} f(x) &= x(x-1)(x-3) - x(x-5) \\ &= x(x^2 - 4x + 3) - x^2 + 5x \\ &= x^3 - 4x^2 + 3x - x^2 + 5x \\ &= x^3 - 5x^2 + 8x \\ &= x(x^2 - 5x + 8) \end{aligned}$$

ここで、$x^2 - 5x + 8 = \left( x - \frac{5}{2} \right)^2 + \frac{7}{4} > 0$ である。

また、積分区間は $a \leqq x \leqq a+1$ であり、$a \geqq 1$ の条件下では常に $x \geqq 1 > 0$ が成り立つ。

したがって、積分区間において常に $f(x) > 0$、すなわち $x(x-1)(x-3) > x(x-5)$ が成り立つ。

求める面積 $S$ は次のように計算できる。

$$\begin{aligned} S &= \int_{a}^{a+1} f(x) dx \\ &= \int_{a}^{a+1} (x^3 - 5x^2 + 8x) dx \\ &= \left[ \frac{1}{4}x^4 - \frac{5}{3}x^3 + 4x^2 \right]_{a}^{a+1} \end{aligned}$$

これを計算すると、

$$\begin{aligned} S &= \frac{1}{4} \left\{ (a+1)^4 - a^4 \right\} - \frac{5}{3} \left\{ (a+1)^3 - a^3 \right\} + 4 \left\{ (a+1)^2 - a^2 \right\} \\ &= \frac{1}{4} (4a^3 + 6a^2 + 4a + 1) - \frac{5}{3} (3a^2 + 3a + 1) + 4 (2a + 1) \\ &= \left( a^3 + \frac{3}{2}a^2 + a + \frac{1}{4} \right) - \left( 5a^2 + 5a + \frac{5}{3} \right) + (8a + 4) \\ &= a^3 - \frac{7}{2}a^2 + 4a + \frac{31}{12} \end{aligned}$$

(2)

(1) で求めた $S$ を $a$ の関数 $S(a)$ とみる。

$$S(a) = a^3 - \frac{7}{2}a^2 + 4a + \frac{31}{12}$$

$a$ で微分すると、

$$\begin{aligned} S'(a) &= 3a^2 - 7a + 4 \\ &= (3a - 4)(a - 1) \end{aligned}$$

$S'(a) = 0$ となるのは $a = 1, \frac{4}{3}$ のときである。

$a \geqq 1$ における $S(a)$ の増減表は次のようになる。

$$\begin{array}{c|c|c|c|c} a & 1 & \cdots & \frac{4}{3} & \cdots \\ \hline S'(a) & 0 & - & 0 & + \\ \hline S(a) & & \searrow & \text{極小} & \nearrow \end{array}$$

増減表より、$S(a)$ は $a = \frac{4}{3}$ のとき最小となる。

そのときの最小値 $S \left( \frac{4}{3} \right)$ を計算する。

$$\begin{aligned} S\left(\frac{4}{3}\right) &= \left(\frac{4}{3}\right)^3 - \frac{7}{2}\left(\frac{4}{3}\right)^2 + 4\left(\frac{4}{3}\right) + \frac{31}{12} \\ &= \frac{64}{27} - \frac{56}{9} + \frac{16}{3} + \frac{31}{12} \\ &= \frac{64 - 168 + 144}{27} + \frac{31}{12} \\ &= \frac{40}{27} + \frac{31}{12} \\ &= \frac{160}{108} + \frac{279}{108} \\ &= \frac{439}{108} \end{aligned}$$

解説

定積分で定義された関数の増減を調べる標準的な問題です。面積を求める際の基本である「2曲線の上下関係の把握」が正しく行えるかが最初の関門です。差の関数を平方完成を用いて正であることを示すのが確実です。面積の計算においては、$(a+1)^n - a^n$ の展開を工夫して計算ミスを減らすことが重要になります。