九州大学 1984年 文系 第1問 解説

方針・初手

(1) 不等式の証明の定石に従い、(左辺) - (右辺) を計算して $0$ 以上になることを示す。被積分関数を展開する際、$(x^3+bx)$ をひとまとめにすると見通しが良い。積分区間が $[-1, 1]$ であるため、奇関数の定積分が $0$ になる性質を活用する。 (2) (1) と同様に (左辺) - (右辺) $\geqq 0$ を示す方針と、左辺の定積分を計算して $b$ の2次関数とみなし、最小値を考える方針がある。

解法1

(1) (左辺) - (右辺) を計算する。

$$\begin{aligned} &\int_{-1}^{1} (x^3+ax^2+bx+c)^2 dx - \int_{-1}^{1} (x^3+bx)^2 dx \\ &= \int_{-1}^{1} \left\{ (x^3+bx) + (ax^2+c) \right\}^2 dx - \int_{-1}^{1} (x^3+bx)^2 dx \\ &= \int_{-1}^{1} \left\{ (x^3+bx)^2 + 2(x^3+bx)(ax^2+c) + (ax^2+c)^2 - (x^3+bx)^2 \right\} dx \\ &= \int_{-1}^{1} \left\{ 2(x^3+bx)(ax^2+c) + (ax^2+c)^2 \right\} dx \\ &= \int_{-1}^{1} \left\{ 2(ax^5+cx^3+abx^3+bcx) + (ax^2+c)^2 \right\} dx \end{aligned}$$

ここで、$2(ax^5+cx^3+abx^3+bcx)$ は奇関数であり、積分区間が $[-1, 1]$ であるから、その定積分は $0$ となる。すなわち、

$$\int_{-1}^{1} 2(ax^5+cx^3+abx^3+bcx) dx = 0$$

これより、

$$\text{(左辺)} - \text{(右辺)} = \int_{-1}^{1} (ax^2+c)^2 dx$$

任意の実数 $x$ に対して $(ax^2+c)^2 \geqq 0$ であるから、

$$\int_{-1}^{1} (ax^2+c)^2 dx \geqq 0$$

したがって、

$$\int_{-1}^{1} (x^3+ax^2+bx+c)^2 dx \geqq \int_{-1}^{1} (x^3+bx)^2 dx$$

が成り立つ。

(2) (左辺) - (右辺) を計算する。

$$\begin{aligned} &\int_{-1}^{1} (x^3+bx)^2 dx - \int_{-1}^{1} \left(x^3-\frac{3}{5}x\right)^2 dx \\ &= \int_{-1}^{1} \left\{ (x^6+2bx^4+b^2x^2) - \left(x^6-\frac{6}{5}x^4+\frac{9}{25}x^2\right) \right\} dx \\ &= \int_{-1}^{1} \left\{ \left(2b+\frac{6}{5}\right)x^4 + \left(b^2-\frac{9}{25}\right)x^2 \right\} dx \end{aligned}$$

被積分関数は偶関数であるから、積分区間を $[0, 1]$ として計算する。

$$\begin{aligned} \text{(左辺)} - \text{(右辺)} &= 2 \int_{0}^{1} \left\{ \left(2b+\frac{6}{5}\right)x^4 + \left(b^2-\frac{9}{25}\right)x^2 \right\} dx \\ &= 2 \left[ \left(2b+\frac{6}{5}\right)\frac{x^5}{5} + \left(b^2-\frac{9}{25}\right)\frac{x^3}{3} \right]_{0}^{1} \\ &= 2 \left\{ \frac{1}{5}\left(2b+\frac{6}{5}\right) + \frac{1}{3}\left(b^2-\frac{9}{25}\right) \right\} \\ &= \frac{2}{5}\left(2b+\frac{6}{5}\right) + \frac{2}{3}\left(b^2-\frac{9}{25}\right) \\ &= \frac{4}{5}b + \frac{12}{25} + \frac{2}{3}b^2 - \frac{6}{25} \\ &= \frac{2}{3}b^2 + \frac{4}{5}b + \frac{6}{25} \\ &= \frac{2}{3} \left( b^2 + \frac{6}{5}b + \frac{9}{25} \right) \\ &= \frac{2}{3} \left( b + \frac{3}{5} \right)^2 \end{aligned}$$

任意の実数 $b$ に対して $\frac{2}{3} \left( b + \frac{3}{5} \right)^2 \geqq 0$ であるから、

$$\int_{-1}^{1} (x^3+bx)^2 dx \geqq \int_{-1}^{1} \left(x^3-\frac{3}{5}x\right)^2 dx$$

が成り立つ。

解法2

(2) の別解として、定積分の値を $b$ の関数として捉え、その最小値を考える。

$$f(b) = \int_{-1}^{1} (x^3+bx)^2 dx$$

とおく。被積分関数を展開すると $f(b) = \int_{-1}^{1} (x^6+2bx^4+b^2x^2) dx$ となる。 偶関数の性質を利用して定積分を計算する。

$$\begin{aligned} f(b) &= 2 \int_{0}^{1} (x^6+2bx^4+b^2x^2) dx \\ &= 2 \left[ \frac{x^7}{7} + \frac{2b}{5}x^5 + \frac{b^2}{3}x^3 \right]_{0}^{1} \\ &= 2 \left( \frac{1}{7} + \frac{2}{5}b + \frac{1}{3}b^2 \right) \\ &= \frac{2}{3}b^2 + \frac{4}{5}b + \frac{2}{7} \end{aligned}$$

得られた $b$ の2次関数を平方完成する。

$$\begin{aligned} f(b) &= \frac{2}{3} \left( b^2 + \frac{6}{5}b \right) + \frac{2}{7} \\ &= \frac{2}{3} \left( b + \frac{3}{5} \right)^2 - \frac{2}{3} \cdot \frac{9}{25} + \frac{2}{7} \\ &= \frac{2}{3} \left( b + \frac{3}{5} \right)^2 - \frac{6}{25} + \frac{2}{7} \\ &= \frac{2}{3} \left( b + \frac{3}{5} \right)^2 + \frac{8}{175} \end{aligned}$$

これより、$f(b)$ は $b = -\frac{3}{5}$ のときに最小値をとることがわかる。すなわち、任意の実数 $b$ に対して

$$f(b) \geqq f\left(-\frac{3}{5}\right)$$

が成り立つ。ここで、$f\left(-\frac{3}{5}\right) = \int_{-1}^{1} \left(x^3-\frac{3}{5}x\right)^2 dx$ であるから、

$$\int_{-1}^{1} (x^3+bx)^2 dx \geqq \int_{-1}^{1} \left(x^3-\frac{3}{5}x\right)^2 dx$$

が示された。

解説

• 積分区間が $[-a, a]$ と対称であるため、偶関数・奇関数の性質（奇関数の積分は $0$、偶関数の積分は区間 $[0, a]$ の $2$ 倍）を用いることで計算を大幅に省略できる。
• (1) はそのまま展開すると項数が多くなるため、部分的にまとめて平方の展開公式を使うなどの工夫が求められる。
• (2) は、定積分を計算した結果が変数 $b$ についての2次関数となることに着目し、平方完成を用いて関数の最小値として不等式を示す（解法2）のも典型的な手法である。

答え

(1) (左辺) - (右辺) を計算し、それが $\int_{-1}^{1} (ax^2+c)^2 dx$ となることから $0$ 以上であることを示した。 (2) (左辺) - (右辺) を計算して $\frac{2}{3} \left( b + \frac{3}{5} \right)^2 \geqq 0$ となることを示すか、左辺を $b$ の関数とみて $b = -\frac{3}{5}$ のときに最小となることを用いて題意の不等式を示した。