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九州大学 1983年文系第2問解説

方針・初手

(1) は与えられた関数 $f(x)$ とその導関数 $f'(x)$ を被積分関数に代入し、定積分を $a$ についての二次関数として表す。そのうえで、平方完成により最小値をとる $a$ の値を求める。

(2) は (1) で求めた $a$ を代入し、$h(x) = f(x) - (x + k)$ とおく。二次関数 $h(x)$ の区間 $[0, 1]$ における値域を調べ、絶対値 $|h(x)|$ の最大値 $g(k)$ を $k$ の関数として表す。その後、$g(k)$ のグラフから最小値をとる $k$ を見つける。

解法1

(1)

$f(x) = ax^2 + (1-a)x$ より、導関数は以下のようになる。

$$f'(x) = 2ax + 1-a$$

被積分関数 $(f'(x))^2 - 2f(x)$ を計算して $x$ について整理する。

$$\begin{aligned} (f'(x))^2 - 2f(x) &= (2ax + 1-a)^2 - 2 \{ax^2 + (1-a)x\} \\ &= \{ 4a^2 x^2 + 4a(1-a)x + (1-a)^2 \} - \{ 2ax^2 + 2(1-a)x \} \\ &= (4a^2 - 2a)x^2 + 2(1-a)(2a - 1)x + (a - 1)^2 \\ &= (4a^2 - 2a)x^2 + (-4a^2 + 6a - 2)x + (a^2 - 2a + 1) \end{aligned}$$

これを区間 $[0, 1]$ で定積分する。

$$\begin{aligned} \int_0^1 \{(f'(x))^2 - 2f(x)\} dx &= \int_0^1 \{ (4a^2 - 2a)x^2 + (-4a^2 + 6a - 2)x + (a^2 - 2a + 1) \} dx \\ &= \left[ \frac{4a^2 - 2a}{3}x^3 + \frac{-4a^2 + 6a - 2}{2}x^2 + (a^2 - 2a + 1)x \right]_0^1 \\ &= \frac{4a^2 - 2a}{3} + (-2a^2 + 3a - 1) + (a^2 - 2a + 1) \\ &= \frac{4a^2 - 2a}{3} - a^2 + a \\ &= \frac{1}{3}a^2 + \frac{1}{3}a \end{aligned}$$

得られた定積分を平方完成する。

$$\frac{1}{3}a^2 + \frac{1}{3}a = \frac{1}{3} \left( a + \frac{1}{2} \right)^2 - \frac{1}{12}$$

したがって、この定積分は $a = -\frac{1}{2}$ のとき最小値をとる。

(2)

(1) より $a = -\frac{1}{2}$ であるから、$f(x)$ は以下のように定まる。

$$f(x) = -\frac{1}{2}x^2 + \frac{3}{2}x$$

ここで、絶対値の中身を $h(x) = f(x) - (x + k)$ とおく。

$$\begin{aligned} h(x) &= -\frac{1}{2}x^2 + \frac{3}{2}x - (x + k) \\ &= -\frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{2}x - k \\ &= -\frac{1}{2} \left( x - \frac{1}{2} \right)^2 + \frac{1}{8} - k \end{aligned}$$

関数 $y = h(x)$ のグラフは上に凸の放物線であり、軸は直線 $x = \frac{1}{2}$ である。区間 $[0, 1]$ において、軸 $x = \frac{1}{2}$ は区間の中央にあるため、$h(x)$ は $x = \frac{1}{2}$ で最大値、端点 $x = 0, 1$ で最小値をとる。

$$\begin{aligned} h \left( \frac{1}{2} \right) &= \frac{1}{8} - k \\ h(0) = h(1) &= -k \end{aligned}$$

したがって、区間 $[0, 1]$ における $h(x)$ の値域は以下のようになる。

$$-k \leqq h(x) \leqq \frac{1}{8} - k$$

$g(k)$ は区間 $[0, 1]$ における $|h(x)|$ の最大値である。これは $h(x)$ の最大値の絶対値と最小値の絶対値のうち、小さくない方と等しい。

$$\begin{aligned} g(k) &= \max \left( |-k|, \left| \frac{1}{8} - k \right| \right) \\ &= \max \left( |k|, \left| k - \frac{1}{8} \right| \right) \end{aligned}$$

$y = |k|$ と $y = \left| k - \frac{1}{8} \right|$ のグラフは、それぞれ数直線上の原点と点 $\frac{1}{8}$ からの距離を表す折れ線である。これら2つの値が等しくなるのは、 $k$ が $0$ と $\frac{1}{8}$ の中点にあるとき、すなわち $k = \frac{1}{16}$ のときである。大小関係を整理すると以下のようになる。

(i) $k < \frac{1}{16}$ のとき

$|k| < \left| k - \frac{1}{8} \right|$ となるため、$g(k) = \frac{1}{8} - k$

(ii) $k \geqq \frac{1}{16}$ のとき

$|k| \geqq \left| k - \frac{1}{8} \right|$ となるため、$g(k) = k$

これらをまとめると、$g(k)$ は次のように表される。

$$g(k) = \begin{cases} -k + \frac{1}{8} & \left( k < \frac{1}{16} \right) \\ k & \left( k \geqq \frac{1}{16} \right) \end{cases}$$

この関数 $g(k)$ のグラフは $k = \frac{1}{16}$ で折れ曲がる下に凸の折れ線となり、$k = \frac{1}{16}$ のとき最小値をとる。

解説

(1) は基本的な定積分の計算と二次関数の最小値問題である。積分変数は $x$ であり、$a$ は定数として扱うことに注意して、落ち着いて展開と積分を行うことが求められる。

(2) は「絶対値の最大値」を関数とし、さらにその最小値を求める典型的な難角問題である。区間 $[0, 1]$ における $h(x)$ の取りうる値の範囲を求めた後、「最大値と最小値のうち、絶対値が大きい方が $|h(x)|$ の最大値になる」という考え方を用いる。 $g(k) = \max(A, B)$ の形になった後は、$y = A$ と $y = B$ のグラフを描いて高い方のなぞったものが $y = g(k)$ のグラフになるという視覚的なアプローチをとると、ミスなく最小値を見つけることができる。