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東京大学 1971年理系第3問解説

方針・初手

与えられた定積分の式を展開し、問題文の条件である $\int_0^1 f(x)dx = 2$ と $\int_0^1 xf(x)dx = 3$ を代入する。結果として得られる式は変数 $a, b$ についての2次関数となるため、平方完成を行うことで最小値を与える $a, b$ の条件を求めることができる。

解法1

最小にしたい値を $I$ とおく。

$$ I = \int_0^1 \{f(x) - ax - b\}^2 dx $$

被積分関数を展開すると、

$$ \{f(x) - ax - b\}^2 = \{f(x)\}^2 - 2(ax + b)f(x) + (ax + b)^2 $$

となるので、$I$ は次のように変形できる。

$$ I = \int_0^1 \{f(x)\}^2 dx - 2 \int_0^1 (ax + b)f(x) dx + \int_0^1 (ax + b)^2 dx $$

右辺の各項を計算する。まず、第2項の定積分は与えられた条件を用いると、

$$ \begin{aligned} \int_0^1 (ax + b)f(x) dx &= a \int_0^1 xf(x) dx + b \int_0^1 f(x) dx \\ &= a \cdot 3 + b \cdot 2 \\ &= 3a + 2b \end{aligned} $$

となる。次に、第3項の定積分を計算する。

$$ \begin{aligned} \int_0^1 (ax + b)^2 dx &= \int_0^1 (a^2 x^2 + 2ab x + b^2) dx \\ &= \left[ \frac{a^2}{3}x^3 + ab x^2 + b^2 x \right]_0^1 \\ &= \frac{1}{3}a^2 + ab + b^2 \end{aligned} $$

これらを $I$ の式に代入する。なお、$\int_0^1 \{f(x)\}^2 dx$ は $a, b$ によらない定数であるため、これを $C$ とおく。

$$ \begin{aligned} I &= C - 2(3a + 2b) + \frac{1}{3}a^2 + ab + b^2 \\ &= \frac{1}{3}a^2 + ab + b^2 - 6a - 4b + C \end{aligned} $$

この式を $a, b$ についての2次式とみて平方完成を行う。まず、$b$ について整理して平方完成する。

$$ \begin{aligned} I &= b^2 + (a - 4)b + \frac{1}{3}a^2 - 6a + C \\ &= \left( b + \frac{a - 4}{2} \right)^2 - \frac{(a - 4)^2}{4} + \frac{1}{3}a^2 - 6a + C \\ &= \left( b + \frac{a - 4}{2} \right)^2 - \frac{a^2 - 8a + 16}{4} + \frac{1}{3}a^2 - 6a + C \\ &= \left( b + \frac{a - 4}{2} \right)^2 + \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{4} \right)a^2 + (2 - 6)a - 4 + C \\ &= \left( b + \frac{a - 4}{2} \right)^2 + \frac{1}{12}a^2 - 4a - 4 + C \\ &= \left( b + \frac{a - 4}{2} \right)^2 + \frac{1}{12}(a^2 - 48a) - 4 + C \\ &= \left( b + \frac{a - 4}{2} \right)^2 + \frac{1}{12}(a - 24)^2 - \frac{24^2}{12} - 4 + C \\ &= \left( b + \frac{a - 4}{2} \right)^2 + \frac{1}{12}(a - 24)^2 - 52 + C \end{aligned} $$

$a, b$ は実数であるから、$\left( b + \frac{a - 4}{2} \right)^2 \geqq 0$ および $(a - 24)^2 \geqq 0$ が成り立つ。したがって、$I$ が最小となるのは、以下の2つの式が同時に成り立つときである。

$$ a - 24 = 0 \quad \text{かつ} \quad b + \frac{a - 4}{2} = 0 $$

これを解くと、

$$ a = 24 $$

$$ b = -\frac{24 - 4}{2} = -10 $$

となり、求める実数 $a, b$ の値が得られる。

解説

関数の近似に関する問題である（関数 $f(x)$ を1次関数 $ax+b$ で近似する際の最小二乗法に対応する背景を持つ）。一見すると $f(x)$ の具体的な形が分からないため難しく見えるが、求めるべき式を展開すると、与えられた2つの定積分の値がそのまま使える形になる。残された式は2変数関数の最小値問題に帰着されるため、「一文字について整理し、平方完成を繰り返す」という基本手順を踏めば確実に解くことができる。