トップ› 東京大学› 1968年› 文系第4問

東京大学 1968年文系第4問解説

方針・初手

条件1) が「2次以下の任意の多項式 $g(x)$ について」成り立つことから、$g(x) = 1, x, x^2$ のそれぞれを代入して $f(x)$ の係数に関する条件を導くのが最も確実である。その後、条件2)、3) を順に適用して定数を決定する。

解法1

$f(x)$ は3次の多項式であるから、実数 $a, b, c, d$ ($a \neq 0$) を用いて次のように表せる。

$$ f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d $$

条件1) は、2次以下の任意の多項式 $g(x)$ に対してつねに $\int_{-1}^1 f(x)g(x)dx = 0$ が成り立つということである。これが任意の2次以下の多項式で成り立つための必要十分条件は、$g(x) = 1, x, x^2$ の各々について積分が $0$ になることである。

($g(x) = 1$ のとき)

$$ \int_{-1}^1 (ax^3 + bx^2 + cx + d) dx = 0 $$

奇関数の定積分は $0$ となることを利用して計算すると、

$$ 2 \int_0^1 (bx^2 + d) dx = 2 \left[ \frac{b}{3}x^3 + dx \right]_0^1 = 2 \left( \frac{b}{3} + d \right) = 0 $$

よって、$b + 3d = 0$ $\cdots$ ①

($g(x) = x$ のとき)

$$ \int_{-1}^1 (ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx) dx = 0 $$

同様に計算して、

$$ 2 \int_0^1 (ax^4 + cx^2) dx = 2 \left[ \frac{a}{5}x^5 + \frac{c}{3}x^3 \right]_0^1 = 2 \left( \frac{a}{5} + \frac{c}{3} \right) = 0 $$

よって、$3a + 5c = 0$ $\cdots$ ②

($g(x) = x^2$ のとき)

$$ \int_{-1}^1 (ax^5 + bx^4 + cx^3 + dx^2) dx = 0 $$

$$ 2 \int_0^1 (bx^4 + dx^2) dx = 2 \left[ \frac{b}{5}x^5 + \frac{d}{3}x^3 \right]_0^1 = 2 \left( \frac{b}{5} + \frac{d}{3} \right) = 0 $$

よって、$3b + 5d = 0$ $\cdots$ ③

①、③より、$b = 0, d = 0$ を得る。また、②より、$c = -\frac{3}{5}a$ を得る。したがって、$f(x)$ は次のように表される。

$$ f(x) = a \left( x^3 - \frac{3}{5}x \right) $$

次に、条件2) $\int_{-1}^1 (f(x))^2 dx = 1$ を用いる。

$$ \int_{-1}^1 a^2 \left( x^3 - \frac{3}{5}x \right)^2 dx = 1 $$

被積分関数は偶関数であるから、

$$ 2a^2 \int_0^1 \left( x^6 - \frac{6}{5}x^4 + \frac{9}{25}x^2 \right) dx = 1 $$

$$ 2a^2 \left[ \frac{1}{7}x^7 - \frac{6}{25}x^5 + \frac{3}{25}x^3 \right]_0^1 = 1 $$

$$ 2a^2 \left( \frac{1}{7} - \frac{6}{25} + \frac{3}{25} \right) = 1 $$

$$ 2a^2 \left( \frac{1}{7} - \frac{3}{25} \right) = 1 $$

$$ 2a^2 \left( \frac{25 - 21}{175} \right) = 1 $$

$$ 2a^2 \cdot \frac{4}{175} = 1 $$

$$ a^2 = \frac{175}{8} $$

$$ a = \pm \frac{5\sqrt{7}}{2\sqrt{2}} = \pm \frac{5\sqrt{14}}{4} $$

最後に、条件3) $f(1) > 0$ を用いる。

$$ f(1) = a \left( 1 - \frac{3}{5} \right) = \frac{2}{5}a $$

$f(1) > 0$ より、$a > 0$ である。したがって、$a = \frac{5\sqrt{14}}{4}$ と定まる。

よって、求める多項式は以下のようになる。

$$ f(x) = \frac{5\sqrt{14}}{4} \left( x^3 - \frac{3}{5}x \right) = \frac{5\sqrt{14}}{4} x^3 - \frac{3\sqrt{14}}{4} x $$

解説

ある多項式が特定の次数の多項式と直交する（積の定積分が $0$ になる）という条件から、関数の形を決定する典型的な問題である。大学数学における直交多項式（ルジャンドル多項式など）を背景とした出題だが、特別な知識がなくても $g(x) = 1, x, x^2$ を代入することで係数を決定できる。積分区間が $[-1, 1]$ であるため、偶関数・奇関数の性質を用いて積分計算の手間とミスを減らす工夫が重要である。