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九州大学 1992年文系第2問解説

方針・初手

(1) は $0 \leqq m \leqq n \leqq 2$ を満たす整数の組 $(m, n)$ 全てについて、定積分の計算を行う。偶関数・奇関数の性質（積分区間が $-1$ から $1$ であること）を利用すると計算量を減らすことができる。

(2) は与えられた $f(x)$ の式を $\int_{-1}^{1} f(x) P_k(x) dx$ に代入し、定積分の線形性を利用して展開する。その際、(1) で求めた積分値の結果を利用することで $a_k$ について解くことができる。

解法1

(1)

$0 \leqq m \leqq n \leqq 2$ を満たす $(m, n)$ の組は、$(0, 0), (0, 1), (0, 2), (1, 1), (1, 2), (2, 2)$ の $6$ 通りである。それぞれについて定積分を計算する。

(m, n) = (0, 0)

$$\int_{-1}^{1} P_0(x) P_0(x) dx = \int_{-1}^{1} 1 \cdot 1 dx = \left[ x \right]_{-1}^{1} = 2$$

(m, n) = (0, 1)

被積分関数は奇関数であるから、

$$\int_{-1}^{1} P_0(x) P_1(x) dx = \int_{-1}^{1} x dx = 0$$

(m, n) = (0, 2)

$$\int_{-1}^{1} P_0(x) P_2(x) dx = \int_{-1}^{1} \frac{1}{2}(3x^2 - 1) dx = \frac{1}{2} \left[ x^3 - x \right]_{-1}^{1} = \frac{1}{2} \{ (1 - 1) - (-1 + 1) \} = 0$$

(m, n) = (1, 1)

被積分関数は偶関数であるから、

$$\int_{-1}^{1} P_1(x) P_1(x) dx = \int_{-1}^{1} x^2 dx = 2 \int_{0}^{1} x^2 dx = 2 \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{1} = \frac{2}{3}$$

(m, n) = (1, 2)

被積分関数は奇関数であるから、

$$\int_{-1}^{1} P_1(x) P_2(x) dx = \int_{-1}^{1} x \cdot \frac{1}{2}(3x^2 - 1) dx = \frac{1}{2} \int_{-1}^{1} (3x^3 - x) dx = 0$$

(m, n) = (2, 2)

被積分関数は偶関数であるから、

$$\begin{aligned} \int_{-1}^{1} P_2(x) P_2(x) dx &= \int_{-1}^{1} \frac{1}{4} (3x^2 - 1)^2 dx \\ &= \frac{1}{4} \int_{-1}^{1} (9x^4 - 6x^2 + 1) dx \\ &= \frac{2}{4} \int_{0}^{1} (9x^4 - 6x^2 + 1) dx \\ &= \frac{1}{2} \left[ \frac{9}{5}x^5 - 2x^3 + x \right]_{0}^{1} \\ &= \frac{1}{2} \left( \frac{9}{5} - 2 + 1 \right) \\ &= \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{5} \\ &= \frac{2}{5} \end{aligned}$$

(2)

与えられた $f(x) = a_0 P_0(x) + a_1 P_1(x) + a_2 P_2(x)$ を用いて、$\int_{-1}^{1} f(x) P_k(x) dx$ を計算する。

$$\begin{aligned} \int_{-1}^{1} f(x) P_k(x) dx &= \int_{-1}^{1} \{ a_0 P_0(x) + a_1 P_1(x) + a_2 P_2(x) \} P_k(x) dx \\ &= a_0 \int_{-1}^{1} P_0(x) P_k(x) dx + a_1 \int_{-1}^{1} P_1(x) P_k(x) dx + a_2 \int_{-1}^{1} P_2(x) P_k(x) dx \end{aligned}$$

ここで、(1) の結果より、$i \neq j$ のとき $\int_{-1}^{1} P_i(x) P_j(x) dx = 0$ が成り立つ。これを利用して $k = 0, 1, 2$ の各場合について計算する。

k = 0

$$\int_{-1}^{1} f(x) P_0(x) dx = a_0 \int_{-1}^{1} \{ P_0(x) \}^2 dx = a_0 \cdot 2$$

よって、$a_0 = \frac{1}{2} \int_{-1}^{1} f(x) P_0(x) dx$ となる。これは $a_k = \frac{2k+1}{2} \int_{-1}^{1} f(x) P_k(x) dx$ において $k=0$ とした式に一致する。

k = 1

$$\int_{-1}^{1} f(x) P_1(x) dx = a_1 \int_{-1}^{1} \{ P_1(x) \}^2 dx = a_1 \cdot \frac{2}{3}$$

よって、$a_1 = \frac{3}{2} \int_{-1}^{1} f(x) P_1(x) dx$ となる。これは $a_k = \frac{2k+1}{2} \int_{-1}^{1} f(x) P_k(x) dx$ において $k=1$ とした式に一致する。

k = 2

$$\int_{-1}^{1} f(x) P_2(x) dx = a_2 \int_{-1}^{1} \{ P_2(x) \}^2 dx = a_2 \cdot \frac{2}{5}$$

よって、$a_2 = \frac{5}{2} \int_{-1}^{1} f(x) P_2(x) dx$ となる。これは $a_k = \frac{2k+1}{2} \int_{-1}^{1} f(x) P_k(x) dx$ において $k=2$ とした式に一致する。

以上より、$k = 0, 1, 2$ のいずれの場合も、

$$a_k = \frac{2k+1}{2} \int_{-1}^{1} f(x) P_k(x) dx$$

が成り立つことが示された。

解説

本問は「ルジャンドル多項式」と呼ばれる直交多項式に関する基本的な性質をテーマにした問題である。

(1) で示したように、$m \neq n$ のとき $\int_{-1}^{1} P_m(x) P_n(x) dx = 0$ となる性質を「直交性」と呼ぶ。関数の内積を積分で定義した際、この内積が $0$ になることを意味している。

(2) は、この直交性を利用して、任意の多項式 $f(x)$ を $P_0(x), P_1(x), P_2(x)$ の線形結合で表したときの係数 $a_k$ を決定する方法を示している。これはベクトルの正射影やフーリエ級数展開の係数決定と全く同じ構造を持っている。計算自体は基本的であるが、背景にある数学的構造を知っていると見通しよく解答できる。