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九州大学 1971年文系第5問解説

方針・初手

与えられた3次関数を $f(x) = ax^3+bx^2+cx+d$ とおきます。関数が極値をもつ条件から、導関数 $f'(x) = 0$ が異なる2つの実数解をもつことを確認します。極値を与える2点が原点に関して対称であることは、その2点の中点が原点に一致することと同値です。この条件を用いて係数 $b, d$ の値を定め、最終的に $f(-x) = -f(x)$ が成り立つこと（関数が奇関数であること）を示します。

解法1

$f(x) = ax^3+bx^2+cx+d$ とおく。

関数 $f(x)$ が極大値と極小値をもつので、$a \neq 0$ であり、方程式 $f'(x) = 0$ は異なる2つの実数解をもつ。 $f'(x) = 3ax^2+2bx+c$ であるから、2つの解を $\alpha, \beta$ とおくと、解と係数の関係より以下の式が成り立つ。

$$\alpha + \beta = -\frac{2b}{3a}$$

極値を与える点は $(\alpha, f(\alpha))$ と $(\beta, f(\beta))$ であり、これらが原点に関して対称である。したがって、2点の中点が原点 $(0,0)$ に一致するので、以下の2式が成り立つ。

$$\frac{\alpha + \beta}{2} = 0$$

$$\frac{f(\alpha) + f(\beta)}{2} = 0$$

1つ目の式より $\alpha + \beta = 0$ となるため、解と係数の関係の式から以下のようになる。

$$-\frac{2b}{3a} = 0$$

$a \neq 0$ であるから、$b = 0$ を得る。

これにより $\beta = -\alpha$ となり、$b=0$ を元の関数に代入すると $f(x) = ax^3+cx+d$ と表せる。これを2つ目の式 $f(\alpha) + f(-\alpha) = 0$ に代入して計算する。

$$(a\alpha^3 + c\alpha + d) + \{a(-\alpha)^3 + c(-\alpha) + d\} = 0$$

$$(a\alpha^3 + c\alpha + d) + (-a\alpha^3 - c\alpha + d) = 0$$

$$2d = 0$$

よって、$d = 0$ を得る。

以上より、$b = 0$ かつ $d = 0$ であるから、関数は以下のように決定される。

$$f(x) = ax^3+cx$$

ここで、任意の $x$ について $f(-x)$ を計算すると、以下のようになる。

$$f(-x) = a(-\dots x)^3 + c(-x) = -ax^3 - cx = -(ax^3+cx) = -f(x)$$

$f(-x) = -f(x)$ が成り立つため、$f(x)$ は奇関数である。ゆえに、この関数のグラフは原点に関して対称である。

解法2

3次関数のグラフは、変曲点（$f''(x) = 0$ となる点）に関して点対称であるという性質を用いる。

$f(x) = ax^3+bx^2+cx+d$ とおくと、$a \neq 0$ である。導関数および第2次導関数は以下のようになる。

$$f'(x) = 3ax^2+2bx+c$$

$$f''(x) = 6ax+2b$$

変曲点の $x$ 座標は $f''(x) = 0$ の解であるから、以下のようになる。

$$x = -\frac{b}{3a}$$

3次関数のグラフにおいて、極大値を与える点と極小値を与える点は、対称の中心である変曲点に関して点対称な位置にある。問題の条件より、極大値を与える点と極小値を与える点が原点に関して対称であるから、対称の中心である変曲点は原点 $(0, 0)$ に一致しなければならない。

変曲点の $x$ 座標が $0$ であるから、以下の式が成り立つ。

$$-\frac{b}{3a} = 0$$

これより $b = 0$ を得る。また、変曲点が原点であるから、グラフは原点を通り、$f(0) = 0$ が成り立つ。

$$f(0) = d = 0$$

よって、$b=0$ かつ $d=0$ となるため、$f(x) = ax^3+cx$ となる。任意の $x$ について $f(-x) = -f(x)$ が成り立つため、$f(x)$ のグラフは原点に関して対称である。

解説

極値をもつ $x$ の座標を文字でおき、導関数 $f'(x)=0$ の解と係数の関係を利用して処理するのが標準的なアプローチです。「2点が原点対称」という条件を「中点が原点」と言い換えることで、簡潔に立式できます。解法2で用いた「3次関数のグラフは変曲点に関して点対称である」という性質は、数学IIIの微分の範囲で学ぶ内容ですが、知っていると図形的な意味を把握しやすくなり、解答の見通しが非常に良くなります。