トップ› 九州大学› 1973年› 理系第1問

九州大学 1973年理系第1問解説

方針・初手

(1) 与えられた関数 $y$ を $x$ について2回微分し、微分方程式に代入する。それが任意の実数 $A, B$ について成り立つための条件を導く。 (2) (1) で求めた $\alpha$ を用いて解の形を決定し、与えられた境界条件 $x=0, x=1$ で $y=0$ となることを立式する。「恒等的に $0$ でない」という条件から、定数や $\lambda$ の値に制限がかかることに注意して $\lambda$ を求める。

解法1

(1)

$y = A \cos \alpha x + B \sin \alpha x$ を $x$ について微分すると、

$$y' = -A\alpha \sin \alpha x + B\alpha \cos \alpha x$$

さらに微分して、

$$y'' = -A\alpha^2 \cos \alpha x - B\alpha^2 \sin \alpha x = -\alpha^2 (A \cos \alpha x + B \sin \alpha x) = -\alpha^2 y$$

これを微分方程式 $\frac{d^2 y}{dx^2} + \lambda^2 y = 0$ に代入すると、

$$-\alpha^2 y + \lambda^2 y = 0$$

$$(\lambda^2 - \alpha^2) y = 0$$

$$(\lambda^2 - \alpha^2) (A \cos \alpha x + B \sin \alpha x) = 0$$

これが任意の実数 $A, B$ に対して成り立つ条件を考える。たとえば $A=1, B=0, x=0$ とすると $\lambda^2 - \alpha^2 = 0$ となる。逆に $\lambda^2 - \alpha^2 = 0$ のとき、任意の $A, B$ に対して上式は成り立つ。したがって、求める条件は $\alpha^2 = \lambda^2$ である。 $\alpha, \lambda$ は実数であるから、

$$\alpha = \pm \lambda$$

(2)

(1) の結果より、$\alpha = \lambda$ のとき解は $y = A \cos \lambda x + B \sin \lambda x$ となる。 $\alpha = -\lambda$ のときは $y = A \cos(-\lambda x) + B \sin(-\lambda x) = A \cos \lambda x - B \sin \lambda x$ となる。 $A, B$ は任意の実数であるから、どちらの場合も解の集合としては同じであり、定数を改めて $C, D$ とおくことで、解は

$$y = C \cos \lambda x + D \sin \lambda x \quad (C, D \text{ は任意の実数})$$

と表すことができる。

条件より、$x=0$ のとき $y=0$ を満たすので、

$$C \cos 0 + D \sin 0 = 0$$

$$C = 0$$

よって、$y = D \sin \lambda x$ となる。この解が恒等的に $0$ でないためには、$D \neq 0$ かつ $\lambda \neq 0$ でなければならない。（$\lambda = 0$ のときは $y = D \sin 0 = 0$ となり、恒等的に $0$ になってしまうため不適）

さらに、$x=1$ のとき $y=0$ を満たすので、

$$D \sin \lambda = 0$$

$D \neq 0$ であるから、

$$\sin \lambda = 0$$

$\lambda$ は実数であるから、これを解くと

$$\lambda = n\pi \quad (n \text{ は整数})$$

先に確認した通り $\lambda \neq 0$ であるから、$n \neq 0$ である。したがって、求める定数 $\lambda$ は、

$$\lambda = n\pi \quad (n \text{ は } 0 \text{ 以外の整数})$$

解説

単振動の微分方程式に関わる基本的な境界値問題である。 (1) では、関数の形を仮定して微分方程式に代入し、未定定数を決定するという微分方程式の解法の基礎を問うている。 (2) では、境界条件から定数 $A, B$ （解答では $C, D$ と置換）の値を決定する。「恒等的に $0$ でない」という条件を見落とさず、$\lambda \neq 0$ （つまり $n \neq 0$）をきちんと除外できるかがポイントとなる。