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九州大学 2007年文系第4問解説

方針・初手

(1) 辺の長さが正であること、指定された辺が最大辺であること、および三角形の成立条件（最大辺の長さが他の2辺の長さの和より小さい）を満たす不等式を連立させて解く。
(2) (1) で求めた $x$ の範囲を利用して残り2辺の大小を比較し、最短の辺を特定する。その後、余弦定理を用いて $\cos\theta$ を立式する。
(3) (2) で求めた $\cos\theta$ の式を根号の中にまとめ、$x$ に関する単調性を利用して最小値を求める。

解法1

(1)

3辺の長さをそれぞれ $a = \sqrt{x^2-2x}$、$b = 4-x$、$c = 2$ とおく。辺の長さは正であるから、$b > 0$ すなわち $4-x > 0$ より $x < 4$ が必要である。条件より $a$ は他の2辺より短くないため、$a$ が最大辺（または最大タイ）となる。したがって、$a \ge b$ かつ $a \ge c$ が成り立つ。（このとき $a \ge c = 2 > 0$ となるため、$a > 0$ は自然に満たされる）三角形の成立条件は、最大辺が他の2辺の和より小さいことであるから、$b+c > a$ である。以上より、次の連立不等式を得る。

$\sqrt{x^2-2x} \ge 4-x$
$\sqrt{x^2-2x} \ge 2$
$(4-x)+2 > \sqrt{x^2-2x}$

$x < 4$ であることに注意して各不等式を解く。

1について

$x < 4$ より両辺ともに正であるから、両辺を2乗して

$$x^2-2x \ge (4-x)^2$$

$$x^2-2x \ge x^2-8x+16$$

$$6x \ge 16 \iff x \ge \frac{8}{3}$$

2について

両辺は正であるから2乗して

$$x^2-2x \ge 4$$

$$x^2-2x-4 \ge 0$$

これを解いて

$$x \le 1-\sqrt{5}, \quad 1+\sqrt{5} \le x$$

3について

$6-x > \sqrt{x^2-2x}$

$x < 4$ のとき $6-x > 2 > 0$ であるから、両辺を2乗して

$$(6-x)^2 > x^2-2x$$

$$x^2-12x+36 > x^2-2x$$

$$10x < 36 \iff x < \frac{18}{5}$$

ここで、求めた境界値の大小を比較する。 $\sqrt{5} \approx 2.236$ より $1+\sqrt{5} \approx 3.236$ である。 $\frac{8}{3} \approx 2.667$、$\frac{18}{5} = 3.6$ であるから、

$$\frac{8}{3} < 1+\sqrt{5} < \frac{18}{5} < 4$$

したがって、1, 2, 3および $x < 4$ を同時に満たす $x$ の範囲は

$$1+\sqrt{5} \le x < \frac{18}{5}$$

(2)

最短の辺を特定するため、(1) で求めた範囲において $b = 4-x$ と $c = 2$ の大小を比較する。

$$b-c = (4-x) - 2 = 2-x$$

$x \ge 1+\sqrt{5} > 2$ であるから、$2-x < 0$ すなわち $b < c$ である。また、条件より $b \le a$ であるから、最短の辺は長さ $4-x$ の辺である。最短の辺と向かい合った角が $\theta$ であるから、余弦定理より

$$\begin{aligned} \cos\theta &= \frac{c^2+a^2-b^2}{2ca} \\ &= \frac{2^2 + (\sqrt{x^2-2x})^2 - (4-x)^2}{2 \cdot 2 \cdot \sqrt{x^2-2x}} \\ &= \frac{4 + (x^2-2x) - (16-8x+x^2)}{4\sqrt{x^2-2x}} \\ &= \frac{6x-12}{4\sqrt{x^2-2x}} \\ &= \frac{3(x-2)}{2\sqrt{x^2-2x}} \end{aligned}$$

(3)

(2) で求めた $\cos\theta$ を変形する。 $x \ge 1+\sqrt{5} > 2$ より $x-2 > 0$ であるから、$x-2 = \sqrt{(x-2)^2}$ とできる。

$$\begin{aligned} \cos\theta &= \frac{3}{2}\sqrt{\frac{(x-2)^2}{x^2-2x}} \\ &= \frac{3}{2}\sqrt{\frac{(x-2)^2}{x(x-2)}} \\ &= \frac{3}{2}\sqrt{\frac{x-2}{x}} \\ &= \frac{3}{2}\sqrt{1-\frac{2}{x}} \end{aligned}$$

$x$ が (1) の範囲 $1+\sqrt{5} \le x < \frac{18}{5}$ を動くとき、$\frac{2}{x}$ は単調に減少するため、$1-\frac{2}{x}$ は単調に増加する。したがって、$\cos\theta$ は $x = 1+\sqrt{5}$ のとき最小値をとる。このとき、根号の中身は

$$\begin{aligned} 1-\frac{2}{1+\sqrt{5}} &= 1-\frac{2(\sqrt{5}-1)}{(\sqrt{5}+1)(\sqrt{5}-1)} \\ &= 1-\frac{2(\sqrt{5}-1)}{4} \\ &= 1-\frac{\sqrt{5}-1}{2} \\ &= \frac{3-\sqrt{5}}{2} \end{aligned}$$

二重根号を外すと、

$$\begin{aligned} \sqrt{\frac{3-\sqrt{5}}{2}} &= \sqrt{\frac{6-2\sqrt{5}}{4}} \\ &= \frac{\sqrt{5}-1}{2} \end{aligned}$$

ゆえに、最小値は

$$\cos\theta = \frac{3}{2} \cdot \frac{\sqrt{5}-1}{2} = \frac{3(\sqrt{5}-1)}{4}$$

解説

三角形の成立条件は「3辺の長さが正」かつ「任意の2辺の和が残りの1辺より大きい」ことであるが、最大辺が分かっている場合は「(最大辺) $<$ (他の2辺の和)」を調べるだけで必要十分となる。本問では最大辺が明示されているため、この性質を活用して不等式を立てる。 (3) における $\cos\theta$ の最小値を求める場面では、微分を用いることもできるが、分子分母に共通する因数 $(x-2)$ に着目してルートの中にまとめることで、数学I・IIの範囲のみで簡潔に単調増加性を示すことができる。