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名古屋大学 1976年理系第2問解説

方針・初手

与えられたベクトルの等式を、頂点 $A$ を始点とするベクトルに書き直すことで、点 $P$ の位置を把握する。線分 $AP$ の延長と辺 $BC$ との交点 $D$ は、$\overrightarrow{AD}$ が $\overrightarrow{AB}$ と $\overrightarrow{AC}$ を用いて辺 $BC$ の内分点として表されることから特定できる。

解法1

(1)

与えられた等式 $$ l\overrightarrow{PA} + m\overrightarrow{PB} + n\overrightarrow{PC} = \overrightarrow{0} $$ について、始点を $A$ に統一すると、 $$ -l\overrightarrow{AP} + m(\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AP}) + n(\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AP}) = \overrightarrow{0} $$ となる。これを $\overrightarrow{AP}$ について整理すると、 $$ (l + m + n)\overrightarrow{AP} = m\overrightarrow{AB} + n\overrightarrow{AC} $$ $$ \overrightarrow{AP} = \frac{m\overrightarrow{AB} + n\overrightarrow{AC}}{l + m + n} $$ となる。ここで、$l, m, n$ は正数であるから、$m + n > 0$ であり、次のように変形できる。 $$ \overrightarrow{AP} = \frac{m + n}{l + m + n} \cdot \frac{m\overrightarrow{AB} + n\overrightarrow{AC}}{m + n} $$

辺 $BC$ を $n : m$ に内分する点を $D'$ とおくと、 $$ \overrightarrow{AD'} = \frac{m\overrightarrow{AB} + n\overrightarrow{AC}}{m + n} $$ であるから、 $$ \overrightarrow{AP} = \frac{m + n}{l + m + n} \overrightarrow{AD'} $$ となる。 $l, m, n$ は正数であるため $0 < \frac{m + n}{l + m + n} < 1$ となり、点 $P$ は線分 $AD'$ 上（両端を除く）に存在する。よって、線分 $AP$ の延長と辺 $BC$ の交点 $D$ は $D'$ と一致し、点 $D$ は辺 $BC$ を $n : m$ に内分する点であることがわかる。

点 $B(b, 0)$, $C(c, 0)$ であるから、内分点の公式より点 $D$ の座標は、 $$ \left( \frac{m \cdot b + n \cdot c}{n + m}, \frac{m \cdot 0 + n \cdot 0}{n + m} \right) $$ すなわち、 $$ \left( \frac{mb + nc}{m + n}, 0 \right) $$ となる。

(2)

(1) の議論より、点 $D$ は辺 $BC$ を $n : m$ に内分する点である。したがって、線分 $BD$ と線分 $CD$ の長さの比は、 $$ BD : CD = n : m $$ となる。

解説

三角形の内部の点の位置ベクトルに関する典型的な問題である。ベクトルの等式が与えられた際、始点をいずれかの頂点（今回は $A$）に統一し、内分点の公式の形を意図的に作り出す操作が定石となる。これにより、直線と辺の交点の位置や、線分の比（今回であれば $AP : PD$ の比も求められる）を明確に示すことができる。