トップ› 九州大学› 1980年› 文系第3問

九州大学 1980年文系第3問解説

方針・初手

与えられた関係式の左辺を因数分解する。ベクトルの内積の性質を用いて式を整理し、$\overrightarrow{PX} \cdot \overrightarrow{PY} = 0$ の形を導くことで、点 $P$ が描く図形を特定する。

解法1

与えられた関係式について、内積の記号を通常の内積記号 $\cdot$ で表し、$PA^2 = |\overrightarrow{PA}|^2$ とすると、次のように書ける。

$$|\overrightarrow{PA}|^2 - 3\overrightarrow{PA} \cdot \overrightarrow{PB} + 2\overrightarrow{PA} \cdot \overrightarrow{PC} - 6\overrightarrow{PB} \cdot \overrightarrow{PC} = 0$$

左辺の前半2項と後半2項をそれぞれ共通因数でくくり、因数分解を行う。

$$\overrightarrow{PA} \cdot (\overrightarrow{PA} - 3\overrightarrow{PB}) + 2\overrightarrow{PC} \cdot (\overrightarrow{PA} - 3\overrightarrow{PB}) = 0$$

$$(\overrightarrow{PA} - 3\overrightarrow{PB}) \cdot (\overrightarrow{PA} + 2\overrightarrow{PC}) = 0$$

ここで、線分 $AB$ を $3:1$ に外分する点を $D$ とすると、点 $D$ の位置ベクトルは次のように表される。

$$\overrightarrow{PD} = \frac{-\overrightarrow{PA} + 3\overrightarrow{PB}}{3-1} = \frac{-\overrightarrow{PA} + 3\overrightarrow{PB}}{2}$$

これより、第1因数は次のように変形できる。

$$\overrightarrow{PA} - 3\overrightarrow{PB} = -2\overrightarrow{PD}$$

また、線分 $AC$ を $2:1$ に内分する点を $E$ とすると、点 $E$ の位置ベクトルは次のように表される。

$$\overrightarrow{PE} = \frac{\overrightarrow{PA} + 2\overrightarrow{PC}}{2+1} = \frac{\overrightarrow{PA} + 2\overrightarrow{PC}}{3}$$

これより、第2因数は次のように変形できる。

$$\overrightarrow{PA} + 2\overrightarrow{PC} = 3\overrightarrow{PE}$$

これらを先ほどの内積の式に代入する。

$$(-2\overrightarrow{PD}) \cdot (3\overrightarrow{PE}) = 0$$

$$-6(\overrightarrow{PD} \cdot \overrightarrow{PE}) = 0$$

$$\overrightarrow{PD} \cdot \overrightarrow{PE} = 0$$

$A, B, C$ は同一直線上にない相異なる3点であるから、直線 $AB$ 上の点 $D$ と直線 $AC$ 上の点 $E$ は相異なる点である。したがって、この等式は、点 $P$ が線分 $DE$ を直径とする円周上にあることを示している。

解説

ベクトルを用いた図形の方程式の典型問題である。与えられた式を因数分解し、ベクトルの係数の和が $1$ になるように実数倍をくくり出すことで、内分点や外分点の位置ベクトルを作り出すのがポイントである。$\overrightarrow{PX} \cdot \overrightarrow{PY} = 0$ は、円周角の定理の逆から、線分 $XY$ を直径とする円を表す。図示する際は、基準となる点 $D, E$ の位置を明確に示す必要がある。