九州大学 1979年 文系 第1問 解説

方針・初手

空間図形における直線と平面の方程式の基本事項を問う問題である。 (1) では、球の方程式から中心の座標を読み取り、平面の方程式から法線ベクトルを読み取って、それを方向ベクトルとする直線の方程式を立てる。 (2) では、(1) で求めた直線を媒介変数表示にして球の方程式に代入し、交点の座標を求める。その後、平面②と平行（すなわち法線ベクトルが共通）という条件を用いて、求めた交点を通る平面の方程式を立てる。

解法1

(1)

球①の方程式 $x^2 + y^2 + (z - 1)^2 = 1$ より、球①の中心 $C$ の座標は $(0, 0, 1)$ である。

平面②の方程式 $x + y + 2z = 0$ より、平面②の法線ベクトルの一つは $\vec{n} = (1, 1, 2)$ である。

求める直線は、点 $C(0, 0, 1)$ を通り、平面②に垂直であるため、方向ベクトルとして $\vec{n}$ を用いることができる。 したがって、求める直線上の点を $(x, y, z)$ とすると、媒介変数 $t$ を用いて

$$(x, y, z) = (0, 0, 1) + t(1, 1, 2) = (t, t, 2t + 1)$$

と表せる。これから $t$ を消去して対称形の方程式で表すと、

$$x = y = \frac{z - 1}{2}$$

となる。

(2)

(1) で求めた直線上の点を $(t, t, 2t + 1)$ とし、これが球①上にあるための $t$ の条件を求める。 球①の方程式に代入すると、

$$t^2 + t^2 + (2t + 1 - 1)^2 = 1$$

整理すると、

$$2t^2 + 4t^2 = 1$$

$$6t^2 = 1$$

$$t = \pm \frac{1}{\sqrt{6}}$$

となる。したがって、直線と球①の交点は2つ存在し、その座標は

$$\left( \pm \frac{1}{\sqrt{6}}, \pm \frac{1}{\sqrt{6}}, 1 \pm \frac{2}{\sqrt{6}} \right) \quad \text{（複号同順）}$$

である。

次に、求める平面は平面②に平行であるから、その法線ベクトルとして平面②と同じ $\vec{n} = (1, 1, 2)$ を用いることができる。 よって、交点 $\left( \pm \frac{1}{\sqrt{6}}, \pm \frac{1}{\sqrt{6}}, 1 \pm \frac{2}{\sqrt{6}} \right)$ を通り、法線ベクトルが $\vec{n}$ である平面の方程式は、

$$1 \cdot \left( x \mp \frac{1}{\sqrt{6}} \right) + 1 \cdot \left( y \mp \frac{1}{\sqrt{6}} \right) + 2 \cdot \left( z - \left( 1 \pm \frac{2}{\sqrt{6}} \right) \right) = 0$$

展開して整理すると、

$$x \mp \frac{1}{\sqrt{6}} + y \mp \frac{1}{\sqrt{6}} + 2z - 2 \mp \frac{4}{\sqrt{6}} = 0$$

$$x + y + 2z = 2 \pm \frac{6}{\sqrt{6}}$$

$$x + y + 2z = 2 \pm \sqrt{6}$$

となる。

解説

空間座標における基本公式の適用がメインとなる標準的な問題である。 (1) で求める直線の方程式は、$x = y = \frac{z - 1}{2}$ という対称形以外にも、$\vec{p} = (0, 0, 1) + t(1, 1, 2)$ のようなベクトル方程式や媒介変数表示でも正解となるが、(2) で交点を求める際に媒介変数表示を用いるため、最初から媒介変数で表現しておくのも有効な手段である。 (2) における計算では、平面の方程式の公式 $a(x - x_0) + b(y - y_0) + c(z - z_0) = 0$ に忠実に代入して整理すればよい。平面が2つ存在することは、直線を貫く球の交点が2つあることから図形的にも自然に理解できる。

答え

(1)

$$x = y = \frac{z - 1}{2}$$

(2)

$$x + y + 2z = 2 \pm \sqrt{6}$$