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九州大学 1980年理系第1問解説

方針・初手

直線上の点は媒介変数を用いて表すことができる。直線 $m$ 上の動点 $P$ を媒介変数 $t$ を用いて表し、同様に直線 $l$ 上の点 $Q$ を媒介変数 $s$ を用いて表す。$PQ$ は $l$ の垂線であるから、方向ベクトルと直交するという条件 $\vec{PQ} \cdot \vec{u} = 0$ を立式し、$s$ を $t$ で表す。その後、点 $R$ の位置ベクトルを内分点の公式から求める。後半は得られた $R$ の位置ベクトルの大きさを $t$ の関数として捉え、その最小値を求める。

解法1

(1)

直線 $m$ 上の点 $P$ の位置ベクトル $\vec{OP}$ は、媒介変数 $t$ を用いて次のように表せる。

$$\vec{OP} = \vec{b} + t\vec{v}$$

また、直線 $l$ 上の点 $Q$ の位置ベクトル $\vec{OQ}$ は、媒介変数 $s$ を用いて次のように表せる。

$$\vec{OQ} = \vec{a} + s\vec{u}$$

$PQ$ は $l$ の垂線であるため、$\vec{PQ}$ と $l$ の方向ベクトル $\vec{u}$ は直交する。すなわち、内積が $0$ になる。

$$\vec{PQ} \cdot \vec{u} = 0$$

ここで、$\vec{PQ} = \vec{OQ} - \vec{OP} = \vec{a} - \vec{b} + s\vec{u} - t\vec{v}$ であるから、

$$(\vec{a} - \vec{b} + s\vec{u} - t\vec{v}) \cdot \vec{u} = 0$$

展開して整理すると、

$$(\vec{a} - \vec{b}) \cdot \vec{u} + s|\vec{u}|^2 - t(\vec{v} \cdot \vec{u}) = 0$$

問題の条件より $|\vec{u}| = 1$ であるから、

$$s = t(\vec{u} \cdot \vec{v}) - (\vec{a} - \vec{b}) \cdot \vec{u}$$

点 $R$ は線分 $PQ$ を $k : 1-k$ の比に分ける点であるから、その位置ベクトル $\vec{OR}$ は

$$\vec{OR} = (1-k)\vec{OP} + k\vec{OQ}$$

となる。これに $\vec{OP}, \vec{OQ}$ を代入し、さらに $s$ を消去して $t$ について整理する。

$$\begin{aligned} \vec{OR} &= (1-k)(\vec{b} + t\vec{v}) + k(\vec{a} + s\vec{u}) \\ &= (1-k)\vec{b} + k\vec{a} + t(1-k)\vec{v} + k \{ t(\vec{u} \cdot \vec{v}) - (\vec{a} - \vec{b}) \cdot \vec{u} \} \vec{u} \\ &= \{ (1-k)\vec{b} + k\vec{a} - k \{ (\vec{a} - \vec{b}) \cdot \vec{u} \} \vec{u} \} + t \{ (1-k)\vec{v} + k(\vec{u} \cdot \vec{v})\vec{u} \} \end{aligned}$$

よって、$l_k$ 上の任意の位置ベクトルを $\vec{p}$ とおくと、これが求めるベクトル方程式である。

(2)

与えられたベクトル成分は以下の通りである。

$$\vec{a} = (0, 1, 0), \quad \vec{b} = (0, 0, 0), \quad \vec{u} = (1, 0, 0), \quad \vec{v} = (1, 1, 1)$$

これらを (1) で求めたベクトル方程式に代入するために、必要な内積などを計算する。

$$\vec{a} - \vec{b} = (0, 1, 0)$$

$$(\vec{a} - \vec{b}) \cdot \vec{u} = (0, 1, 0) \cdot (1, 0, 0) = 0$$

$$\vec{u} \cdot \vec{v} = (1, 0, 0) \cdot (1, 1, 1) = 1$$

したがって、(1) で整理した定点ベクトルと方向ベクトルはそれぞれ次のようになる。

$$\begin{aligned} (1-k)\vec{b} + k\vec{a} - k \{ (\vec{a} - \vec{b}) \cdot \vec{u} \} \vec{u} &= (1-k)(0,0,0) + k(0,1,0) - k \cdot 0 \cdot (1,0,0) \\ &= (0, k, 0) \end{aligned}$$

$$\begin{aligned} (1-k)\vec{v} + k(\vec{u} \cdot \vec{v})\vec{u} &= (1-k)(1,1,1) + k \cdot 1 \cdot (1,0,0) \\ &= (1-k+k, 1-k, 1-k) \\ &= (1, 1-k, 1-k) \end{aligned}$$

よって、$l_k$ のベクトル方程式は成分表示で次のように表される。

$$\vec{p} = (0, k, 0) + t(1, 1-k, 1-k) = (t, k + t(1-k), t(1-k))$$

原点から $l_k$ 上の点までの距離の2乗 $|\vec{p}|^2$ を $f(t)$ とおき、この最小値を求める。

$$\begin{aligned} f(t) &= t^2 + \{ k + t(1-k) \}^2 + \{ t(1-k) \}^2 \\ &= t^2 + k^2 + 2kt(1-k) + t^2(1-k)^2 + t^2(1-k)^2 \\ &= \{ 1 + 2(1-k)^2 \} t^2 + 2k(1-k)t + k^2 \end{aligned}$$

これは $t$ についての2次関数であり、$t^2$ の係数 $1 + 2(1-k)^2$ は正であるから、平方完成により最小値を求めることができる。

$$f(t) = \{ 1 + 2(1-k)^2 \} \left( t + \frac{k(1-k)}{1 + 2(1-k)^2} \right)^2 + k^2 - \frac{k^2(1-k)^2}{1 + 2(1-k)^2}$$

したがって、$f(t)$ の最小値は定数項部分として次のように計算できる。

$$\begin{aligned} f(t) の最小値 &= k^2 - \frac{k^2(1-k)^2}{1 + 2(1-k)^2} \\ &= \frac{k^2 \{ 1 + 2(1-k)^2 \} - k^2(1-k)^2}{1 + 2(1-k)^2} \\ &= \frac{k^2 \{ 1 + (1-k)^2 \}}{1 + 2(1-k)^2} \\ &= \frac{k^2(k^2 - 2k + 2)}{2k^2 - 4k + 3} \end{aligned}$$

ここで、すべての実数 $k$ に対して $k^2 - 2k + 2 = (k-1)^2 + 1 > 0$ かつ $2k^2 - 4k + 3 = 2(k-1)^2 + 1 > 0$ である。求める最短距離は、この最小値の正の平方根である。

$$\sqrt{ \frac{k^2(k^2 - 2k + 2)}{2k^2 - 4k + 3} } = |k| \sqrt{ \frac{k^2 - 2k + 2}{2k^2 - 4k + 3} }$$

解説

空間における2直線の距離や関係性を問う典型的なベクトル問題である。(1) において、垂線の足 $Q$ を求めるための直交条件 $\vec{PQ} \cdot \vec{u} = 0$ が最も重要である。ここで $s$ と $t$ の関係式を導くことで、点 $R$ の位置ベクトルを1つの媒介変数 $t$ のみで表現することができ、これがそのまま直線のベクトル方程式となる。 (2) は (1) の結果に具体的な成分を代入し、原点からの距離の最小値を求める問題に帰着する。距離の2乗を考え、$t$ についての2次関数の最小値問題として処理するのが定石である。平方根をとる際、$k^2$ が根号の外に出るときは絶対値記号 $|k|$ を忘れないよう注意したい。