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九州大学 1982年文系第1問解説

方針・初手

(1) は点 A を始点とするベクトルで各点の位置を表していくのが基本方針です。$\overrightarrow{AK}$ は中点の条件から直ちに求まります。$\overrightarrow{AM}$ については、点 M が「平面 ALN 上にある」ことと「直線 PC 上にある」ことの 2 つの条件を立式し、それらを結びつけることで求めます。図形の対称性や交線に着目すると計算量を減らすことができます。

(2) は四角形 ALMN の面積を求める問題です。空間内の四角形の面積は、対角線が直交するかどうかに着目するのが定石です。正四角錐が持つ対称性から、対角線 AM と LN が直交することを見抜き、それぞれの長さを求めて面積を計算します。

解法1

(1)

正方形 ABCD の中心 O は対角線 AC の中点であるから、

$$\overrightarrow{AO} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AC}$$

点 K は線分 PO の中点であるから、

$$\overrightarrow{AK} = \frac{1}{2}\left(\overrightarrow{AP} + \overrightarrow{AO}\right) = \frac{1}{2}\overrightarrow{AP} + \frac{1}{4}\overrightarrow{AC}$$

次に、$\overrightarrow{AM}$ について考える。 $\triangle PBD$ において、L, N はそれぞれ辺 PB, PD の中点であるから、

$$\overrightarrow{AL} = \frac{1}{2}\left(\overrightarrow{AP} + \overrightarrow{AB}\right)$$

$$\overrightarrow{AN} = \frac{1}{2}\left(\overrightarrow{AP} + \overrightarrow{AD}\right)$$

線分 LN の中点を K' とすると、

$$\begin{aligned} \overrightarrow{AK'} &= \frac{1}{2}\left(\overrightarrow{AL} + \overrightarrow{AN}\right) \\ &= \frac{1}{2}\left\{ \frac{1}{2}\left(\overrightarrow{AP} + \overrightarrow{AB}\right) + \frac{1}{2}\left(\overrightarrow{AP} + \overrightarrow{AD}\right) \right\} \\ &= \frac{1}{2}\overrightarrow{AP} + \frac{1}{4}\left(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}\right) \end{aligned}$$

四角形 ABCD は平行四辺形であるから、$\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AC}$ が成り立つ。これを代入すると、

$$\overrightarrow{AK'} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AP} + \frac{1}{4}\overrightarrow{AC}$$

よって、$\overrightarrow{AK} = \overrightarrow{AK'}$ となり、点 K は線分 LN の中点であることがわかる。これは、点 K が平面 ALN 上にあることを意味する。

3点 A, K, M に着目する。点 A と点 K はともに平面 ALN 上にあり、かつ平面 PAC 上にもある。したがって、直線 AK は平面 ALN と平面 PAC の交線である。点 M は平面 ALN と直線 PC（平面 PAC 上の直線）の交点であるから、点 M は交線 AK 上に存在する。ゆえに、3点 A, K, M は一直線上にあり、実数 $k$ を用いて次のように表せる。

$$\overrightarrow{AM} = k\overrightarrow{AK} = k\left(\frac{1}{2}\overrightarrow{AP} + \frac{1}{4}\overrightarrow{AC}\right) = \frac{k}{2}\overrightarrow{AP} + \frac{k}{4}\overrightarrow{AC}$$

また、点 M は直線 PC 上の点であるから、$\overrightarrow{AP}$ と $\overrightarrow{AC}$ の係数の和は 1 となる。

$$\frac{k}{2} + \frac{k}{4} = 1$$

$$\frac{3k}{4} = 1 \implies k = \frac{4}{3}$$

したがって、

$$\overrightarrow{AM} = \frac{4}{3}\left(\frac{1}{2}\overrightarrow{AP} + \frac{1}{4}\overrightarrow{AC}\right) = \frac{2}{3}\overrightarrow{AP} + \frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$$

(2)

正四角錐の対称性より、頂点 P から底面 ABCD に下ろした垂線の足は底面の中心 O と一致する。したがって、直線 PO は平面 ABCD と垂直であり、平面 ABCD 上の直線 BD とも垂直である（$PO \perp BD$）。また、底面 ABCD は正方形であるから、対角線は直交する（$AC \perp BD$）。

$PO \perp BD$ かつ $AC \perp BD$ であるから、直線 BD は平面 PAC 全体と垂直である。 $\triangle PBD$ において中点連結定理より $LN \parallel BD$ であるから、直線 LN も平面 PAC と垂直である。直線 AM は平面 PAC 上に含まれるため、$LN \perp AM$ となる。すなわち、四角形 ALMN は直交する 2 つの対角線 AM, LN を持つため、その面積 $S$ は

$$S = \frac{1}{2} \cdot AM \cdot LN$$

で求められる。

各対角線の長さを計算する。 $LN$ の長さは底面の正方形の対角線 $BD = \sqrt{2}a$ の半分であるから、

$$LN = \frac{1}{2}BD = \frac{\sqrt{2}}{2}a$$

$AM$ の長さは、(1) の結果からベクトルの大きさとして求める。

$$|\overrightarrow{AM}|^2 = \left| \frac{2}{3}\overrightarrow{AP} + \frac{1}{3}\overrightarrow{AC} \right|^2 = \frac{1}{9}\left(4|\overrightarrow{AP}|^2 + 4\overrightarrow{AP} \cdot \overrightarrow{AC} + |\overrightarrow{AC}|^2\right)$$

ここで、$|\overrightarrow{AP}| = b$、$|\overrightarrow{AC}| = \sqrt{2}a$ である。 $\overrightarrow{AP} \cdot \overrightarrow{AC}$ について、$\triangle PAC$ に余弦定理を適用すると、

$$PC^2 = PA^2 + AC^2 - 2 \cdot PA \cdot AC \cos \angle PAC$$

$$b^2 = b^2 + (\sqrt{2}a)^2 - 2\overrightarrow{AP} \cdot \overrightarrow{AC}$$

$$2\overrightarrow{AP} \cdot \overrightarrow{AC} = 2a^2 \implies \overrightarrow{AP} \cdot \overrightarrow{AC} = a^2$$

これらを代入して、

$$|\overrightarrow{AM}|^2 = \frac{1}{9}\left(4b^2 + 4a^2 + 2a^2\right) = \frac{6a^2 + 4b^2}{9}$$

$$AM = \frac{\sqrt{6a^2 + 4b^2}}{3}$$

以上より、面積 $S$ は

$$S = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{6a^2 + 4b^2}}{3} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}a = \frac{a\sqrt{12a^2 + 8b^2}}{12} = \frac{a\sqrt{3a^2 + 2b^2}}{6}$$

解法2

(1)の $\overrightarrow{AM}$ について、1次独立な基底を用いた係数比較による別解を示す。

$\overrightarrow{AB} = \vec{b}$, $\overrightarrow{AD} = \vec{d}$, $\overrightarrow{AP} = \vec{p}$ とおく。4点 A, B, D, P は同一平面上にないため、これら 3 つのベクトルは 1 次独立である。このとき、$\overrightarrow{AC} = \vec{b} + \vec{d}$ と表せる。

点 M は平面 ALN 上の点であるから、実数 $s, t$ を用いて $\overrightarrow{AM} = s\overrightarrow{AL} + t\overrightarrow{AN}$ と表せる。

$$\begin{aligned} \overrightarrow{AM} &= s \left(\frac{1}{2}\vec{p} + \frac{1}{2}\vec{b}\right) + t \left(\frac{1}{2}\vec{p} + \frac{1}{2}\vec{d}\right) \\ &= \frac{s+t}{2}\vec{p} + \frac{s}{2}\vec{b} + \frac{t}{2}\vec{d} \end{aligned}$$

また、点 M は直線 PC 上の点であるから、実数 $u$ を用いて $\overrightarrow{AM} = (1-u)\overrightarrow{AP} + u\overrightarrow{AC}$ と表せる。

$$\overrightarrow{AM} = (1-u)\vec{p} + u(\vec{b} + \vec{d}) = (1-u)\vec{p} + u\vec{b} + u\vec{d}$$

$\vec{p}, \vec{b}, \vec{d}$ は 1 次独立であるから、係数を比較して、

$$\frac{s+t}{2} = 1-u, \quad \frac{s}{2} = u, \quad \frac{t}{2} = u$$

第2式、第3式より $s = 2u, t = 2u$。これを第1式に代入すると、

$$\frac{4u}{2} = 1-u \implies 2u = 1-u \implies 3u = 1 \implies u = \frac{1}{3}$$

したがって、$\overrightarrow{AM} = \frac{2}{3}\overrightarrow{AP} + \frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$ となる。

解説

空間ベクトルの基本と、立体図形の性質を組み合わせた標準的な問題です。 (1) は、解法 1 のように「2 平面の交線」として直線 AK を捉えられると、計算量が少なく見通しよく解くことができます。解法 2 のように一次独立な基底を用いて係数比較に持ち込む方法は、図形的な閃きがなくても確実に答えにたどり着けるため、強力な汎用解法となります。 (2) は、「対角線が直交する四角形の面積公式」を知っていることと、正四角錐の対称性から $BD \perp 平面PAC$ を論証できるかが鍵となります。空間内の直交条件を示す際は、直線が平面上の独立な 2 直線と垂直になることを示すのが基本です。