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九州大学 1978年文系第4問解説

方針・初手

平面の方程式を求めるには、通る1点と法線ベクトルが必要である。(1)では、与えられた直線が平面に垂直であることから、その直線の方向ベクトルを平面の法線ベクトルとして用いる。(2)では、求めた平面の方程式から$y$軸、$z$軸との交点の座標をそれぞれ求め、ベクトルを用いてなす角を計算する。

解法1

(1)

原点$O(0, 0, 0)$と点$P(1, \sqrt{2}, \sqrt{3})$を通る直線の方向ベクトルは$\vec{OP}$であり、平面$\alpha$はこの直線に垂直であるから、$\vec{OP}$は平面$\alpha$の法線ベクトル$\vec{n}$となる。

$$\vec{n} = \vec{OP} = (1, \sqrt{2}, \sqrt{3})$$

平面$\alpha$は点$A(1, 0, 0)$を通り、法線ベクトルが$\vec{n} = (1, \sqrt{2}, \sqrt{3})$であるから、その方程式は次のように表される。

$$1 \cdot (x - 1) + \sqrt{2} \cdot (y - 0) + \sqrt{3} \cdot (z - 0) = 0$$

これを整理して、平面$\alpha$の方程式は以下のようになる。

$$x + \sqrt{2}y + \sqrt{3}z - 1 = 0$$

(2)

平面$\alpha$と$y$軸との交点$B$の座標は、平面$\alpha$の方程式において$x = 0, z = 0$とすることで求められる。

$$0 + \sqrt{2}y + 0 - 1 = 0 \iff y = \frac{1}{\sqrt{2}}$$

したがって、点$B$の座標は$B\left(0, \frac{1}{\sqrt{2}}, 0\right)$である。

同様に、平面$\alpha$と$z$軸との交点$C$の座標は、平面$\alpha$の方程式において$x = 0, y = 0$とすることで求められる。

$$0 + 0 + \sqrt{3}z - 1 = 0 \iff z = \frac{1}{\sqrt{3}}$$

したがって、点$C$の座標は$C\left(0, 0, \frac{1}{\sqrt{3}}\right)$である。

ここで、$\angle CAB$を求めるためにベクトル$\vec{AB}$と$\vec{AC}$を考える。

$$\vec{AB} = \left(0 - 1, \frac{1}{\sqrt{2}} - 0, 0 - 0\right) = \left(-1, \frac{1}{\sqrt{2}}, 0\right)$$

$$\vec{AC} = \left(0 - 1, 0 - 0, \frac{1}{\sqrt{3}} - 0\right) = \left(-1, 0, \frac{1}{\sqrt{3}}\right)$$

これらのベクトルの内積$\vec{AB} \cdot \vec{AC}$は次のようになる。

$$\vec{AB} \cdot \vec{AC} = (-1) \cdot (-1) + \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot 0 + 0 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = 1$$

また、それぞれのベクトルの大きさは次のように計算できる。

$$|\vec{AB}| = \sqrt{(-1)^2 + \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2 + 0^2} = \sqrt{1 + \frac{1}{2}} = \sqrt{\frac{3}{2}}$$

$$|\vec{AC}| = \sqrt{(-1)^2 + 0^2 + \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2} = \sqrt{1 + \frac{1}{3}} = \sqrt{\frac{4}{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}}$$

$\vec{AB}$と$\vec{AC}$のなす角を$\theta$（$0 \leqq \theta \leqq \pi$）とすると、$\theta = \angle CAB$であるから、

$$\cos \angle CAB = \frac{\vec{AB} \cdot \vec{AC}}{|\vec{AB}| |\vec{AC}|} = \frac{1}{\sqrt{\frac{3}{2}} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}}} = \frac{1}{\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$$

$0 \leqq \angle CAB \leqq \pi$より、$\angle CAB = \frac{\pi}{4}$である。

解説

空間ベクトルにおける平面の方程式と、内積を利用したなす角の計算という、基本的な解法を問う問題である。空間における平面の方程式は、通る1点$(x_0, y_0, z_0)$と法線ベクトル$(a, b, c)$が与えられれば$a(x - x_0) + b(y - y_0) + c(z - z_0) = 0$と立式できることを確実に押さえておきたい。また、座標軸上の点は、他の2つの成分が$0$になるという性質を利用して速やかに座標を求めることができる。2つのベクトルがなす角は、ベクトルの内積の定義式から逆算して求めるのが定石である。