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九州大学 1980年文系第1問解説

方針・初手

多項式がある1次式の累乗 $(x-\alpha)^n$ で割り切れるという条件は、微分を考えることで導関数が $(x-\alpha)^{n-1}$ で割り切れるという条件に帰着できる。本問は(1)の誘導があるため、与えられた割り切れる式を商を用いて表し、両辺を微分して $f'(x)$ が持つ因数を明らかにするのが自然なアプローチである。(2)は(1)の結果を積分し、未定係数を因数定理から得られる条件で決定する。

解法1

(1)

$5f(x) - 3$ は $(x-1)^4$ で割り切れるので、多項式 $P(x)$ を用いて次のように表せる。

$$5f(x) - 3 = (x-1)^4 P(x)$$

この両辺を $x$ で微分すると、積の微分法により以下のようになる。

$$\begin{aligned} 5f'(x) &= 4(x-1)^3 P(x) + (x-1)^4 P'(x) \\ &= (x-1)^3 \{ 4P(x) + (x-1)P'(x) \} \end{aligned}$$

右辺の $4P(x) + (x-1)P'(x)$ は多項式であるから、$f'(x)$ は $(x-1)^3$ を因数にもつ。

同様に、$7f(x) - 5$ は $(x+1)^4$ で割り切れるので、多項式 $Q(x)$ を用いて次のように表せる。

$$7f(x) - 5 = (x+1)^4 Q(x)$$

この両辺を $x$ で微分すると、

$$\begin{aligned} 7f'(x) &= 4(x+1)^3 Q(x) + (x+1)^4 Q'(x) \\ &= (x+1)^3 \{ 4Q(x) + (x+1)Q'(x) \} \end{aligned}$$

となる。これより、$f'(x)$ は $(x+1)^3$ を因数にもつ。

$f(x)$ は7次式であるから、$f'(x)$ は6次式である。$(x-1)^3$ と $(x+1)^3$ は互いに素であるから、$f'(x)$ は $(x-1)^3(x+1)^3$ で割り切れる。

$(x-1)^3(x+1)^3 = \{ (x-1)(x+1) \}^3 = (x^2-1)^3$ は6次式であるから、$f'(x)$ は 0 でない定数 $k$ を用いて次のように表せる。

$$f'(x) = k(x^2-1)^3$$

(2)

(1) の結果を展開すると、

$$f'(x) = k(x^6 - 3x^4 + 3x^2 - 1)$$

となる。両辺を $x$ で積分すると、積分定数 $C$ を用いて次のように表せる。

$$f(x) = k \left( \frac{1}{7}x^7 - \frac{3}{5}x^5 + x^3 - x \right) + C$$

ここで、$5f(x) - 3$ は $(x-1)^4$ で割り切れるから、因数定理により $5f(1) - 3 = 0$、すなわち $f(1) = \frac{3}{5}$ である。また、$7f(x) - 5$ は $(x+1)^4$ で割り切れるから、因数定理により $7f(-1) - 5 = 0$、すなわち $f(-1) = \frac{5}{7}$ である。

これらを $f(x)$ の式に代入すると、以下の連立方程式が得られる。

$$\begin{cases} f(1) = k \left( \frac{1}{7} - \frac{3}{5} + 1 - 1 \right) + C = -\frac{16}{35}k + C = \frac{3}{5} \\ f(-1) = k \left( -\frac{1}{7} + \frac{3}{5} - 1 + 1 \right) + C = \frac{16}{35}k + C = \frac{5}{7} \end{cases}$$

この2式の和をとると、

$$2C = \frac{3}{5} + \frac{5}{7} = \frac{21+25}{35} = \frac{46}{35}$$

より、$C = \frac{23}{35}$ となる。これを第1式に代入して $k$ を求める。

$$-\frac{16}{35}k + \frac{23}{35} = \frac{21}{35}$$

$$-\frac{16}{35}k = -\frac{2}{35}$$

より、$k = \frac{1}{8}$ となる。

したがって、求める $f(x)$ は、

$$\begin{aligned} f(x) &= \frac{1}{8} \left( \frac{1}{7}x^7 - \frac{3}{5}x^5 + x^3 - x \right) + \frac{23}{35} \\ &= \frac{1}{56}x^7 - \frac{3}{40}x^5 + \frac{1}{8}x^3 - \frac{1}{8}x + \frac{23}{35} \end{aligned}$$

解説

多項式 $F(x)$ が $(x-\alpha)^n$ で割り切れるとき、$F(\alpha) = F'(\alpha) = \cdots = F^{(n-1)}(\alpha) = 0$ が成り立つという性質は頻出である。本問のように導関数の形から多項式を決定する手法は、高次の多項式を扱う際に未定係数を大幅に減らすことができる強力な解法である。(1)を自力で設定させる問題も多いため、解法の手順として習熟しておきたい。