トップ› 北海道大学› 2013年› 理系第5問

北海道大学 2013年理系第5問解説

方針・初手

(1)は置換積分を用いる。積分変数 $t$ を別の変数 $s$ に変換することで、被積分関数の引数にある $x$ を分離しやすい形にする。

(2)は(1)の結果において、$x$ を $2x$ に置き換えて $F(x)$ の積分表現を得る。被積分関数に $x$ が含まれるため、展開して $x$ を積分の外に出してから $x$ で微分を繰り返す。

(3)は(2)で得られた関係式と、$F(x)$ が $3$ 次多項式であることから $f(x)$ の次数を決定し、未定係数法を用いて関数を決定する。

解法1

(1)

与えられた式

$$ F(x) = \int_0^{2x} t f(2x - t) dt $$

において、$x$ に $\frac{x}{2}$ を代入すると、

$$ F\left(\frac{x}{2}\right) = \int_0^x t f(x - t) dt $$

となる。ここで、$s = x - t$ とおくと、$t = x - s$ であり、両辺を $s$ で微分すると $\frac{dt}{ds} = -1$ より $dt = -ds$ となる。積分区間は、$t$ が $0$ から $x$ まで変化するとき、$s$ は $x$ から $0$ まで変化する。したがって、置換積分法により、

$$ \begin{aligned} F\left(\frac{x}{2}\right) &= \int_x^0 (x - s) f(s) (-ds) \\ &= \int_0^x (x - s) f(s) ds \end{aligned} $$

となり、示された。

(2)

(1)で示した式

$$ F\left(\frac{x}{2}\right) = \int_0^x (x - s) f(s) ds $$

において、$x$ を $2x$ に置き換えると、

$$ F(x) = \int_0^{2x} (2x - s) f(s) ds $$

となる。右辺を展開し、$x$ を積分の外に出すと、

$$ F(x) = 2x \int_0^{2x} f(s) ds - \int_0^{2x} s f(s) ds $$

となる。両辺を $x$ で微分すると、積の微分法と合成関数の微分法により、

$$ \begin{aligned} F'(x) &= 2 \int_0^{2x} f(s) ds + 2x \cdot f(2x) \cdot (2x)' - 2x f(2x) \cdot (2x)' \\ &= 2 \int_0^{2x} f(s) ds + 4x f(2x) - 4x f(2x) \\ &= 2 \int_0^{2x} f(s) ds \end{aligned} $$

となる。さらに両辺を $x$ で微分すると、

$$ \begin{aligned} F''(x) &= 2 f(2x) \cdot (2x)' \\ &= 4 f(2x) \end{aligned} $$

となる。

(3)

$F(x)$ は $3$ 次多項式であるから、その $2$ 次導関数 $F''(x)$ は $1$ 次式である。 (2)の結果 $F''(x) = 4 f(2x)$ より、$f(2x)$ は $1$ 次式となり、したがって $f(x)$ も $1$ 次式である。そこで、$f(x) = ax + b$ （$a, b$ は実数の定数、$a \neq 0$）とおく。 $f(1) = 1$ であるから、

$$ a + b = 1 \quad \cdots \text{①} $$

が成り立つ。一方、(2)の途中で得られた式 $F'(x) = 2 \int_0^{2x} f(s) ds$ において $x = 0$ とすると $F'(0) = 0$ である。また、$F(x) = 2x \int_0^{2x} f(s) ds - \int_0^{2x} s f(s) ds$ において $x = 0$ とすると $F(0) = 0$ である。したがって、$F(x)$ は定数項と $1$ 次の項をもたない $3$ 次多項式であるから、$F(x) = cx^3 + dx^2$ （$c, d$ は実数の定数、$c \neq 0$）とおける。このとき、$F''(x) = 6cx + 2d$ となる。 (2)の式 $F''(x) = 4 f(2x)$ に代入すると、

$$ 6cx + 2d = 4(2ax + b) $$

$$ 6cx + 2d = 8ax + 4b $$

これは $x$ についての恒等式であるから、係数を比較して、

$$ \begin{cases} 6c = 8a \\ 2d = 4b \end{cases} $$

すなわち、

$$ \begin{cases} c = \frac{4}{3}a \\ d = 2b \end{cases} $$

を得る。よって、$F(x) = \frac{4}{3}ax^3 + 2bx^2$ となる。 $F(1) = 1$ であるから、

$$ \frac{4}{3}a + 2b = 1 \quad \cdots \text{②} $$

が成り立つ。 ①より $b = 1 - a$ を②に代入すると、

$$ \begin{aligned} \frac{4}{3}a + 2(1 - a) &= 1 \\ -\frac{2}{3}a &= -1 \\ a &= \frac{3}{2} \end{aligned} $$

となる。これを $b = 1 - a$ に代入して、$b = -\frac{1}{2}$ となる。これらは $a \neq 0$ を満たす。また、

$$ c = \frac{4}{3} \cdot \frac{3}{2} = 2, \quad d = 2 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = -1 $$

である。これらは $c \neq 0$ を満たす。以上より、$f(x) = \frac{3}{2}x - \frac{1}{2}$、$F(x) = 2x^3 - x^2$ となる。

解説

定積分で表された関数の微分の典型問題である。被積分関数の中に変数 $x$ が含まれている場合、そのままでは微分できないため、置換積分法などを用いて $x$ を積分の外に出す工夫が必要となる。本問では(1)の誘導に従うことで、容易に $x$ を外に出すことができる形に変形できる。 (3)では、多項式の次数に注目して関数を決定する。恒等式の性質と、(2)の微分過程から得られる $F(0)=0$、$F'(0)=0$ といった初期条件を見落とさないようにしたい。