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九州大学 1981年文系第2問解説

方針・初手

(1) は定義に従って $x', y'$ を $x, y$ で表し、行列の各成分を決定する。

(2) は原点中心の回転移動を表す行列の公式をそのまま用いる。

(3) は $y$ 軸上の点 $P$ を媒介変数を用いて表し、これに変換 $B$、変換 $A$ を順次適用して点 $P''$ の座標を求める。最後に媒介変数を消去して軌跡の方程式を導く。あるいは、あらかじめ合成変換の行列を求めてから適用してもよい。

解法1

(1) 座標平面上の点 $(x,y)$ を点 $\left(\frac{x}{\sqrt{2}}, y\right)$ にうつす変換であるから、移った先の点を $(x', y')$ とすると、関係式は以下のようになる。

$$\begin{cases} x' = \frac{1}{\sqrt{2}}x + 0 \cdot y \\ y' = 0 \cdot x + 1 \cdot y \end{cases}$$

これを行列を用いて表すと、次のようになる。

$$\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$$

したがって、求める行列 $A$ は以下の通りである。

$$A = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$$

(2) 原点を中心とする角 $\frac{\pi}{4}$ の回転を表す行列 $B$ は、公式より次のように求められる。

$$B = \begin{pmatrix} \cos\frac{\pi}{4} & -\sin\frac{\pi}{4} \\ \sin\frac{\pi}{4} & \cos\frac{\pi}{4} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix}$$

(3) 点 $P$ は $y$ 軸上を動くため、実数 $t$ を用いて $P(0, t)$ とおくことができる。

まず、変換 $B$ によって点 $P$ が点 $P'$ にうつるので、点 $P'$ の座標を $(x', y')$ とすると次の式が成り立つ。

$$\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ t \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\frac{t}{\sqrt{2}} \\ \frac{t}{\sqrt{2}} \end{pmatrix}$$

よって、$P'\left(-\frac{t}{\sqrt{2}}, \frac{t}{\sqrt{2}}\right)$ となる。

次に、変換 $A$ によって点 $P'$ が点 $P''$ にうつる。点 $P''$ の座標を $(X, Y)$ とすると、次の式が成り立つ。

$$\begin{pmatrix} X \\ Y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -\frac{t}{\sqrt{2}} \\ \frac{t}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\frac{t}{2} \\ \frac{t}{\sqrt{2}} \end{pmatrix}$$

したがって、$X$ と $Y$ について以下の連立方程式が得られる。

$$\begin{cases} X = -\frac{1}{2}t \\ Y = \frac{1}{\sqrt{2}}t \end{cases}$$

上の式から $t = -2X$ となり、これを下の式に代入すると、以下のようになる。

$$Y = \frac{1}{\sqrt{2}} (-2X) = -\sqrt{2}X$$

実数 $t$ がすべての実数値をとって変化するとき、$X$ もすべての実数値をとる。したがって、点 $P''$ は直線 $y = -\sqrt{2}x$ の上を動く。

解法2

(3) について、変換の合成を用いる別解を示す。

点 $P$ を変換 $B$ でうつし、さらに変換 $A$ でうつす合成変換を表す行列は $AB$ である。

$$\begin{aligned} AB &= \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} \end{aligned}$$

点 $P$ は $y$ 軸上の点であるから、実数 $t$ を用いて $P(0, t)$ とおく。合成変換によって点 $P$ は点 $P''$ にうつるので、点 $P''$ の座標を $(X, Y)$ とすると次の関係が成り立つ。

$$\begin{pmatrix} X \\ Y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ t \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\frac{1}{2}t \\ \frac{1}{\sqrt{2}}t \end{pmatrix}$$

すなわち、以下の式を得る。

$$\begin{cases} X = -\frac{1}{2}t \\ Y = \frac{1}{\sqrt{2}}t \end{cases}$$

$t = -2X$ として $Y$ の式に代入すると、$Y = -\sqrt{2}X$ を得る。 $t$ がすべての実数値を動くとき $X$ もすべての実数値をとるため、求める図形は直線 $y = -\sqrt{2}x$ である。

解説

1次変換における基本的な行列の決定、および軌跡の求値問題である。

(1) や (2) は、定義や回転の公式通りに素直に行列を立てればよい。

(3) では、点の移動を順次計算してもよいし、解法2のようにあらかじめ合成変換の行列 $AB$ を求めておいてから点の座標に作用させてもよい。行列の積の順序が $AB$ となること（右から順に作用する）に注意する必要がある。軌跡を求める際は、媒介変数 $t$ を消去して $X, Y$ の関係式を導くのが定石である。定義域の確認（今回 $t$ は任意の実数であるため $X$ も任意の実数となること）も記述の際には省略しないようにしたい。