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九州大学 1981年文系第1問解説

方針・初手

放物線の交点、接線、および面積を求める微分積分の標準的な問題である。 (1) は放物線の方程式に $x=0$ を代入して $y$ 切片を求める。 (2) は導関数を用いて接線の傾きを求め、接線の方程式を立てる。 (3) は (2) で求めた接線の方程式に $y=0$ を代入して $x$ 切片を求める。 (4) は図形の形状を把握し、$0 \leqq x \leqq a$ の部分（放物線と座標軸で囲まれた図形）と、$a \leqq x \leqq a+\frac{1}{2}$ の部分（接線と $x$ 軸、$x=a$ の直線で囲まれた直角三角形）に分割して面積を計算する。

解法1

(1)

$y$ 軸との交点の $x$ 座標は $0$ であるから、$f(x)$ に $x=0$ を代入する。

$$f(0) = -0^2 + a^2 + a = a^2 + a$$

したがって、点 $P$ の座標は $(0, a^2+a)$ である。

(2)

関数 $f(x)$ を $x$ について微分すると、

$$f'(x) = -2x$$

となる。点 $Q(a, a)$ における接線の傾きは $f'(a) = -2a$ である。よって、求める接線の方程式は、

$$y - a = -2a(x - a)$$

$$y = -2ax + 2a^2 + a$$

となる。

(3)

点 $R$ は (2) で求めた接線と $x$ 軸との交点であるから、$y=0$ を代入する。

$$0 = -2ax + 2a^2 + a$$

$a$ は正の数であるから $a \neq 0$ であり、両辺を $a$ で割って整理することができる。

$$2ax = 2a^2 + a$$

$$x = \frac{2a^2 + a}{2a} = a + \frac{1}{2}$$

したがって、点 $R$ の座標は $\left( a + \frac{1}{2}, 0 \right)$ である。

(4)

条件より $a > 0$ であるから、点 $R$ の $x$ 座標 $a + \frac{1}{2}$ は点 $Q$ の $x$ 座標 $a$ よりも大きい。また、$0 \leqq x \leqq a$ において $f(x) = -x^2 + a^2 + a \geqq a > 0$ である。求める図形 $OPQR$ の面積 $S$ は、$0 \leqq x \leqq a$ における曲線 $y=f(x)$ と $x$ 軸、$y$ 軸、$x=a$ で囲まれた部分の面積 $S_1$ と、点 $Q$ から $x$ 軸に下ろした垂線の足を $H(a, 0)$ としたときの直角三角形 $QHR$ の面積 $S_2$ の和として求められる。

$$S = S_1 + S_2$$

まず、$S_1$ を定積分を用いて計算する。

$$\begin{aligned} S_1 &= \int_{0}^{a} f(x) dx \\ &= \int_{0}^{a} (-x^2 + a^2 + a) dx \\ &= \left[ -\frac{1}{3}x^3 + (a^2 + a)x \right]_{0}^{a} \\ &= -\frac{1}{3}a^3 + (a^2 + a)a \\ &= \frac{2}{3}a^3 + a^2 \end{aligned}$$

次に、直角三角形 $QHR$ の面積 $S_2$ を計算する。底辺 $HR$ の長さは、点 $R$ と点 $H$ の $x$ 座標の差である。

$$HR = \left( a + \frac{1}{2} \right) - a = \frac{1}{2}$$

高さ $QH$ の長さは、点 $Q$ の $y$ 座標であるから $a$ である。

$$\begin{aligned} S_2 &= \frac{1}{2} \times HR \times QH \\ &= \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times a \\ &= \frac{1}{4}a \end{aligned}$$

したがって、求める面積 $S$ はこれらの和となる。

$$\begin{aligned} S &= S_1 + S_2 \\ &= \frac{2}{3}a^3 + a^2 + \frac{1}{4}a \end{aligned}$$

解説

2次関数の接線と面積に関する標準的な問題である。 (4) の面積計算において、図形を曲線部分と直線（三角形）部分に分割して計算できるかがポイントとなる。 $0 \leqq x \leqq a$ の区間では放物線の下側の面積を定積分で求め、$a \leqq x \leqq a+\frac{1}{2}$ の区間は接線の下側の面積となるため、定積分を使わずに直角三角形の面積として計算する方が素早く正確に求まる。境界となる線が途中で切り替わることに注意して図形を捉えたい。