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九州大学 2017年理系第2問解説

方針・初手

空間ベクトルを用いて、直線のベクトル方程式と垂直条件（内積が0）を立式する。交点が直線ではなく「線分」上にあるという条件から、媒介変数の範囲が $0$ と $1$ の間に収まるかどうかの確認も行う。

解法1

(1)

直線 $CD$ の方向ベクトルを求める。

$$ \vec{CD} = \vec{OD} - \vec{OC} = (a, b, 1) - (0, 0, 1) = (a, b, 0) $$

点 $G$ は直線 $CD$ 上にあるため、実数 $t$ を用いて次のように表せる。

$$ \vec{OG} = \vec{OC} + t\vec{CD} = (0, 0, 1) + t(a, b, 0) = (ta, tb, 1) $$

このとき、$\vec{AG}$ は次のように計算できる。

$$ \vec{AG} = \vec{OG} - \vec{OA} = (ta - a, tb, 1) $$

$AG \perp CD$ より、$\vec{AG} \cdot \vec{CD} = 0$ が成り立つ。

$$ \vec{AG} \cdot \vec{CD} = (ta - a)a + (tb)b + 1 \cdot 0 = ta^2 - a^2 + tb^2 = t(a^2 + b^2) - a^2 = 0 $$

$a > 0$ かつ $b > 0$ であるから $a^2 + b^2 > 0$ であり、$t$ について解くと次のようになる。

$$ t = \frac{a^2}{a^2 + b^2} $$

ここで $a > 0, b > 0$ より $0 < t < 1$ を満たすため、点 $G$ は確かに線分 $CD$ 上に存在する。

これを $\vec{OG}$ に代入して $G$ の座標を求める。

$$ \vec{OG} = \left( \frac{a^3}{a^2+b^2}, \frac{a^2b}{a^2+b^2}, 1 \right) $$

(2)

(1) と同様に、点 $H$ は線分 $CD$ 上にあるため、実数 $s$ を用いて次のように表せる。

$$ \vec{OH} = \vec{OC} + s\vec{CD} = (sa, sb, 1) $$

このとき、$\vec{BH}$ は次のように計算できる。

$$ \vec{BH} = \vec{OH} - \vec{OB} = (sa, sb - b, 1) $$

$BH \perp CD$ より、$\vec{BH} \cdot \vec{CD} = 0$ が成り立つ。

$$ \vec{BH} \cdot \vec{CD} = (sa)a + (sb - b)b + 1 \cdot 0 = sa^2 + sb^2 - b^2 = s(a^2 + b^2) - b^2 = 0 $$

これより $s$ を求める。

$$ s = \frac{b^2}{a^2 + b^2} $$

$a > 0, b > 0$ より $0 < s < 1$ を満たすため、点 $H$ は確かに線分 $CD$ 上に存在する。

$t$ および $s$ の値を用いて、$\vec{AG}$ と $\vec{BH}$ をそれぞれ $a, b$ で表す。

$$ \begin{aligned} \vec{AG} &= \left( \frac{a^3}{a^2+b^2} - a, \frac{a^2b}{a^2+b^2}, 1 \right) = \left( \frac{-ab^2}{a^2+b^2}, \frac{a^2b}{a^2+b^2}, 1 \right) \\ \vec{BH} &= \left( \frac{ab^2}{a^2+b^2}, \frac{b^3}{a^2+b^2} - b, 1 \right) = \left( \frac{ab^2}{a^2+b^2}, \frac{-a^2b}{a^2+b^2}, 1 \right) \end{aligned} $$

ここで、計算を簡略化するために $u = \frac{ab^2}{a^2+b^2}$、$v = \frac{a^2b}{a^2+b^2}$ とおくと、$\vec{AG} = (-u, v, 1)$、$\vec{BH} = (u, -v, 1)$ と表せる。

内積 $\vec{AG} \cdot \vec{BH}$ を計算する。

$$ \vec{AG} \cdot \vec{BH} = (-u) \cdot u + v \cdot (-v) + 1 \cdot 1 = 1 - (u^2 + v^2) $$

また、それぞれのベクトルの大きさを計算する。

$$ \begin{aligned} |\vec{AG}|^2 &= (-u)^2 + v^2 + 1^2 = u^2 + v^2 + 1 \\ |\vec{BH}|^2 &= u^2 + (-v)^2 + 1^2 = u^2 + v^2 + 1 \end{aligned} $$

よって、$|\vec{AG}| = |\vec{BH}| = \sqrt{u^2 + v^2 + 1}$ となる。

$\cos\theta$ は内積の定義より次のように求められる。

$$ \cos\theta = \frac{\vec{AG} \cdot \vec{BH}}{|\vec{AG}| |\vec{BH}|} = \frac{1 - (u^2 + v^2)}{u^2 + v^2 + 1} $$

ここで、$u^2 + v^2$ を $a, b$ を用いて計算する。

$$ u^2 + v^2 = \left( \frac{ab^2}{a^2+b^2} \right)^2 + \left( \frac{a^2b}{a^2+b^2} \right)^2 = \frac{a^2b^4 + a^4b^2}{(a^2+b^2)^2} = \frac{a^2b^2(b^2+a^2)}{(a^2+b^2)^2} = \frac{a^2b^2}{a^2+b^2} $$

これを $\cos\theta$ の式に代入する。

$$ \cos\theta = \frac{1 - \frac{a^2b^2}{a^2+b^2}}{1 + \frac{a^2b^2}{a^2+b^2}} = \frac{(a^2+b^2) - a^2b^2}{(a^2+b^2) + a^2b^2} $$

解説

空間ベクトルにおける直線上の点の設定と、垂直条件を処理する典型問題である。直線上の点をパラメータを用いて表現し、内積ゼロの方程式からパラメータを決定する流れは確実に押さえておきたい。 (2)の後半のなす角の計算では、求めた2つのベクトルの成分が対称的な形をしていることに気づき、文字で置換することで計算量を大幅に減らし、ミスのリスクを抑えることができる。また、「線分 $CD$ 上」という条件に合わせ、求めた媒介変数が $0$ と $1$ の間にあることを明記すると、論理的な漏れがない解答となる。