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九州大学 1987年文系第4問解説

方針・初手

正四面体の問題であり、辺の長さと頂点間の角度（なす角はすべて $60^\circ$）が既知であるため、頂点 $D$ を始点とするベクトルを用いて位置ベクトルを設定し、内積の計算に持ち込むのが確実である。

解法1

$\overrightarrow{DA} = \vec{a}$, $\overrightarrow{DB} = \vec{b}$, $\overrightarrow{DC} = \vec{c}$ とおく。正四面体の 1 辺の長さは $1$ なので、各ベクトルの大きさは、

$$|\vec{a}| = |\vec{b}| = |\vec{c}| = 1$$

また、正四面体の各面は正三角形であるから、ベクトルのなす角はすべて $60^\circ$ であり、内積は、

$$\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{c} = \vec{c} \cdot \vec{a} = 1 \times 1 \times \cos 60^\circ = \frac{1}{2}$$

(1)

点 $E$ は辺 $AB$ を $t : (1-t)$ に内分するので、

$$\vec{e} = \overrightarrow{DE} = (1-t)\vec{a} + t\vec{b}$$

点 $F$ は辺 $AC$ を $(1-t) : t$ に内分するので、

$$\vec{f} = \overrightarrow{DF} = t\vec{a} + (1-t)\vec{c}$$

それぞれのベクトルの大きさの2乗を計算する。

$$\begin{aligned} |\vec{e}|^2 &= |(1-t)\vec{a} + t\vec{b}|^2 \\ &= (1-t)^2|\vec{a}|^2 + 2t(1-t)\vec{a} \cdot \vec{b} + t^2|\vec{b}|^2 \\ &= (1-t)^2 \cdot 1 + 2t(1-t) \cdot \frac{1}{2} + t^2 \cdot 1 \\ &= (1 - 2t + t^2) + (t - t^2) + t^2 \\ &= t^2 - t + 1 \end{aligned}$$

$|\vec{e}| > 0$ より、

$$|\vec{e}| = \sqrt{t^2 - t + 1}$$

同様に、$|\vec{f}|^2$ を計算する。

$$\begin{aligned} |\vec{f}|^2 &= |t\vec{a} + (1-t)\vec{c}|^2 \\ &= t^2|\vec{a}|^2 + 2t(1-t)\vec{a} \cdot \vec{c} + (1-t)^2|\vec{c}|^2 \\ &= t^2 \cdot 1 + 2t(1-t) \cdot \frac{1}{2} + (1-t)^2 \cdot 1 \\ &= t^2 + (t - t^2) + (1 - 2t + t^2) \\ &= t^2 - t + 1 \end{aligned}$$

$|\vec{f}| > 0$ より、

$$|\vec{f}| = \sqrt{t^2 - t + 1}$$

次に内積 $\vec{e} \cdot \vec{f}$ を計算する。

$$\begin{aligned} \vec{e} \cdot \vec{f} &= \{(1-t)\vec{a} + t\vec{b}\} \cdot \{t\vec{a} + (1-t)\vec{c}\} \\ &= t(1-t)|\vec{a}|^2 + (1-t)^2(\vec{a} \cdot \vec{c}) + t^2(\vec{a} \cdot \vec{b}) + t(1-t)(\vec{b} \cdot \vec{c}) \\ &= t(1-t) \cdot 1 + (1-t)^2 \cdot \frac{1}{2} + t^2 \cdot \frac{1}{2} + t(1-t) \cdot \frac{1}{2} \\ &= (t - t^2) + \frac{1}{2}(1 - 2t + t^2) + \frac{1}{2}t^2 + \frac{1}{2}(t - t^2) \\ &= \left( -1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \right) t^2 + \left( 1 - 1 + \frac{1}{2} \right) t + \frac{1}{2} \\ &= -\frac{1}{2}t^2 + \frac{1}{2}t + \frac{1}{2} \end{aligned}$$

(2)

内積の定義 $\vec{e} \cdot \vec{f} = |\vec{e}||\vec{f}| \cos \theta$ より、

$$\cos \theta = \frac{\vec{e} \cdot \vec{f}}{|\vec{e}||\vec{f}|}$$

(1) の結果を代入すると、

$$\cos \theta = \frac{-\frac{1}{2}t^2 + \frac{1}{2}t + \frac{1}{2}}{\sqrt{t^2 - t + 1} \sqrt{t^2 - t + 1}} = \frac{-\frac{1}{2}t^2 + \frac{1}{2}t + \frac{1}{2}}{t^2 - t + 1}$$

分母分子に $2$ を掛けて整理する。

$$\cos \theta = \frac{-t^2 + t + 1}{2(t^2 - t + 1)}$$

ここで、$x = t^2 - t + 1$ とおくと、$-t^2 + t = -x + 1$ となるので、式は以下のように変形できる。

$$\cos \theta = \frac{-x + 2}{2x} = -\frac{1}{2} + \frac{1}{x}$$

次に、$x$ のとりうる値の範囲を求める。

$$x = t^2 - t + 1 = \left( t - \frac{1}{2} \right)^2 + \frac{3}{4}$$

$0 < t < 1$ であるから、$x$ は $t = \frac{1}{2}$ のとき最小値 $\frac{3}{4}$ をとる。$t \to 0$ または $t \to 1$ のとき $x \to 1$ となるため、$x$ の値の範囲は、

$$\frac{3}{4} \leqq x < 1$$

関数 $g(x) = -\frac{1}{2} + \frac{1}{x}$ は、$x > 0$ において単調減少する。したがって、$\cos \theta$ のとりうる範囲は、$x = 1$ のときの極限値と $x = \frac{3}{4}$ のときの値の間に制限される。

$x \to 1$ のとき、

$$g(1) = -\frac{1}{2} + 1 = \frac{1}{2}$$

$x = \frac{3}{4}$ のとき、

$$g\left(\frac{3}{4}\right) = -\frac{1}{2} + \frac{4}{3} = \frac{-3 + 8}{6} = \frac{5}{6}$$

以上より、求める $\cos \theta$ の範囲は、

$$\frac{1}{2} < \cos \theta \leqq \frac{5}{6}$$

解説

正四面体を扱う空間ベクトルの典型的な問題である。基底をなす 3 つのベクトルの大きさと内積がすべて等しくなるという性質を利用して、内分点の公式から機械的に計算を進めることができる。 (2) では、分母と分子に共通の塊 $t^2 - t + 1$ が現れることに着目し、これを置換することで分数関数の値域を求める問題に帰着させるのが工夫のしどころである。微分を用いる方法もあるが、置換して単調な関数に帰着させる手法が最も見通しが良い。