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九州大学 1987年文系第2問解説

方針・初手

(1) 与えられた2つの曲線 $C_1, C_2$ の交点の $x$ 座標を求め、積分区間を決定します。その後、区間内での2曲線の上下関係を調べ、定積分により面積を計算します。被積分関数が偶関数であることに着目すると計算が容易になります。

(2) 図形 $D_2$ を表す条件式は、図形 $D_1$ の条件式のパラメータ $a$ を $a+1$ に置き換えたものです。そこで、任意の $x$ に対して $C_1$ と $C_3$、$C_2$ と $C_4$ の $y$ 座標の大小関係を比較し、領域 $D_1$ が領域 $D_2$ に完全に包含されていること（$D_1 \subset D_2$）を示します。包含関係が示されれば、求める面積は $D_2$ の面積から $D_1$ の面積を引くことで得られます。

解法1

(1) 曲線 $C_1$ と $C_2$ の交点の $x$ 座標は、方程式

$$\frac{x^{2n}}{2a^{\frac{n}{n+1}}} = a^{\frac{n}{n+1}} - \frac{x^{2n}}{2a^{\frac{n}{n+1}}}$$

の実数解である。これを整理すると、

$$\frac{x^{2n}}{a^{\frac{n}{n+1}}} = a^{\frac{n}{n+1}}$$

$$x^{2n} = a^{\frac{2n}{n+1}}$$

$n$ は自然数、$x$ は実数、$a > 0$ であるから、

$$x^2 = a^{\frac{2}{n+1}}$$

より、

$$x = \pm a^{\frac{1}{n+1}}$$

となる。

区間 $-a^{\frac{1}{n+1}} \le x \le a^{\frac{1}{n+1}}$ において、

$$\left( a^{\frac{n}{n+1}} - \frac{x^{2n}}{2a^{\frac{n}{n+1}}} \right) - \frac{x^{2n}}{2a^{\frac{n}{n+1}}} = a^{\frac{n}{n+1}} - \frac{x^{2n}}{a^{\frac{n}{n+1}}} = \frac{a^{\frac{2n}{n+1}} - x^{2n}}{a^{\frac{n}{n+1}}} \ge 0$$

であるから、$C_2$ は $C_1$ の上側（または境界上）にある。したがって、図形 $D_1$ の面積を $S_1$ とすると、被積分関数が偶関数であることを用いて、

$$S_1 = \int_{-a^{\frac{1}{n+1}}}^{a^{\frac{1}{n+1}}} \left( a^{\frac{n}{n+1}} - \frac{x^{2n}}{a^{\frac{n}{n+1}}} \right) dx$$

$$S_1 = 2 \int_{0}^{a^{\frac{1}{n+1}}} \left( a^{\frac{n}{n+1}} - a^{-\frac{n}{n+1}} x^{2n} \right) dx$$

$$S_1 = 2 \left[ a^{\frac{n}{n+1}} x - a^{-\frac{n}{n+1}} \frac{x^{2n+1}}{2n+1} \right]_{0}^{a^{\frac{1}{n+1}}}$$

$$S_1 = 2 \left( a^{\frac{n}{n+1}} a^{\frac{1}{n+1}} - a^{-\frac{n}{n+1}} \frac{a^{\frac{2n+1}{n+1}}}{2n+1} \right)$$

ここで、指数法則により

$$a^{\frac{n}{n+1}} a^{\frac{1}{n+1}} = a^{\frac{n+1}{n+1}} = a$$

および、

$$a^{-\frac{n}{n+1}} a^{\frac{2n+1}{n+1}} = a^{\frac{2n+1-n}{n+1}} = a^{\frac{n+1}{n+1}} = a$$

であるから、

$$S_1 = 2 \left( a - \frac{a}{2n+1} \right) = 2a \left( \frac{2n+1-1}{2n+1} \right) = \frac{4n}{2n+1}a$$

となる。

(2) 図形 $D_1$ は連立不等式

$$\begin{cases} y \ge \dfrac{x^{2n}}{2a^{\frac{n}{n+1}}} \\ y \le a^{\frac{n}{n+1}} - \dfrac{x^{2n}}{2a^{\frac{n}{n+1}}} \end{cases}$$

の表す領域であり、図形 $D_2$ は連立不等式

$$\begin{cases} y \ge \dfrac{x^{2n}}{2(a+1)^{\frac{n}{n+1}}} \\ y \le (a+1)^{\frac{n}{n+1}} - \dfrac{x^{2n}}{2(a+1)^{\frac{n}{n+1}}} \end{cases}$$

の表す領域である。

$a > 0$ より $a+1 > a > 0$ であり、$n$ は自然数であるから $\frac{n}{n+1} > 0$ である。したがって、

$$(a+1)^{\frac{n}{n+1}} > a^{\frac{n}{n+1}} > 0$$

が成り立つ。

これより、任意の $x$ に対して

$$\frac{x^{2n}}{2(a+1)^{\frac{n}{n+1}}} \le \frac{x^{2n}}{2a^{\frac{n}{n+1}}}$$

が成り立つ。これは、$C_3$ が常に $C_1$ の下側（または境界上）にあることを示す。

また、$C_2$ と $C_4$ の $y$ 座標の差を考えると、

$$\left( (a+1)^{\frac{n}{n+1}} - \frac{x^{2n}}{2(a+1)^{\frac{n}{n+1}}} \right) - \left( a^{\frac{n}{n+1}} - \frac{x^{2n}}{2a^{\frac{n}{n+1}}} \right)$$

$$= \left\{ (a+1)^{\frac{n}{n+1}} - a^{\frac{n}{n+1}} \right\} + \frac{x^{2n}}{2} \left\{ \frac{1}{a^{\frac{n}{n+1}}} - \frac{1}{(a+1)^{\frac{n}{n+1}}} \right\}$$

となる。ここで、$(a+1)^{\frac{n}{n+1}} > a^{\frac{n}{n+1}}$ より第1項は正であり、$\frac{1}{a^{\frac{n}{n+1}}} > \frac{1}{(a+1)^{\frac{n}{n+1}}}$ かつ $x^{2n} \ge 0$ より第2項は $0$ 以上である。したがって、常に

$$(a+1)^{\frac{n}{n+1}} - \frac{x^{2n}}{2(a+1)^{\frac{n}{n+1}}} > a^{\frac{n}{n+1}} - \frac{x^{2n}}{2a^{\frac{n}{n+1}}}$$

が成り立つ。これは、$C_4$ が常に $C_2$ の上側にあることを示す。

以上より、$D_1$ に含まれる任意の点 $(x, y)$ は常に $D_2$ の不等式を満たす。すなわち $D_1 \subset D_2$ である。

したがって、$D_1$ の外部と $D_2$ の内部との共通部分は、領域 $D_2$ から領域 $D_1$ を除いた部分となる。 $D_2$ の面積 $S_2$ は、(1) の結果において $a$ を $a+1$ に置き換えたものに等しいので、

$$S_2 = \frac{4n}{2n+1}(a+1)$$

である。

求める面積 $S$ は、$S = S_2 - S_1$ により計算できるので、

$$S = \frac{4n}{2n+1}(a+1) - \frac{4n}{2n+1}a = \frac{4n}{2n+1}$$

となる。

解説

2つの曲線で囲まれた面積を求める基本的な定積分問題と、それらを拡張した領域に関する問題です。 (1) では指数に文字が含まれているため見た目は複雑ですが、交点の計算や積分後の代入において指数法則を正しく適用できれば、綺麗な形にまとまります。偶関数の性質を利用して計算量を減らす工夫が重要です。 (2) では、図形 $D_2$ が $D_1$ のパラメータを置き換えたものであることに着目します。面積を求める領域が「$D_2$ の面積から $D_1$ の面積を引いたもの」となるためには、$D_1$ が $D_2$ に完全に含まれていること（$D_1 \subset D_2$）を確認する必要があります。この論証を省略せずに、不等式を用いて上下関係を正しく評価することが解答のポイントになります。