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大阪大学 1995年文系第2問解説

方針・初手

点 $P$ は円周上にあるため、パラメータを用いて三角関数で座標を表すか、座標をそのまま文字でおいて軌跡の考え方（実数存在条件）を用いるかのいずれかの方針が考えられる。直線 $AP$ 上の点 $Q$ を実数倍のパラメータで表し、平面 $x+y+z=-2$ 上にあるという条件からパラメータの値を求めて $z$ 座標の関数に帰着させるのが確実なアプローチである。

解法1

点 $P$ は $xy$ 平面上の原点を中心とする半径 $1$ の円周上にあるため、媒介変数 $\theta$（$0 \le \theta < 2\pi$）を用いて、$P(\cos\theta, \sin\theta, 0)$ とおくことができる。また、定点 $(0, 0, 2)$ を $A$ とおく。

点 $Q$ は直線 $AP$ 上にあるので、実数 $t$ を用いて $\vec{OQ} = (1-t)\vec{OA} + t\vec{OP}$ と表せる。成分で表すと、

$$ \vec{OQ} = (1-t)(0, 0, 2) + t(\cos\theta, \sin\theta, 0) = (t\cos\theta, t\sin\theta, 2-2t) $$

となる。点 $Q$ は平面 $x+y+z=-2$ 上にあるから、各成分を代入して

$$ t\cos\theta + t\sin\theta + 2-2t = -2 $$

$$ t(\cos\theta + \sin\theta - 2) = -4 $$

ここで、$0 \le \theta < 2\pi$ において $-2 \le \cos\theta + \sin\theta \le \sqrt{2} < 2$ であるから、$\cos\theta + \sin\theta - 2 \neq 0$ となる。したがって、両辺を割って $t$ を求めることができる。

$$ t = \frac{4}{2 - (\cos\theta + \sin\theta)} $$

点 $Q$ の $z$ 座標を $z_Q$ とすると、$z_Q = 2-2t$ であるから、

$$ z_Q = 2 - \frac{8}{2 - (\cos\theta + \sin\theta)} $$

と表される。ここで、$u = \cos\theta + \sin\theta$ とおくと、三角関数の合成より $u = \sqrt{2}\sin\left(\theta + \frac{\pi}{4}\right)$ となるため、$0 \le \theta < 2\pi$ より $u$ のとり得る値の範囲は

$$ -\sqrt{2} \le u \le \sqrt{2} $$

である。このとき、$z_Q$ は $u$ の関数として次のように表せる。

$$ z_Q = 2 - \frac{8}{2-u} $$

$-\sqrt{2} \le u \le \sqrt{2}$ の範囲において、$2-u > 0$ である。 $u$ の値が増加するとき、分母の $2-u$ の値は減少し、$\frac{8}{2-u}$ の値は増加するため、$z_Q$ は単調に減少する関数である。

したがって、$z_Q$ は $u = -\sqrt{2}$ のときに最大値、 $u = \sqrt{2}$ のときに最小値をとる。

最大値：

$$ 2 - \frac{8}{2 - (-\sqrt{2})} = 2 - \frac{8(2-\sqrt{2})}{(2+\sqrt{2})(2-\sqrt{2})} = 2 - \frac{8(2-\sqrt{2})}{4-2} = 2 - 4(2-\sqrt{2}) = -6 + 4\sqrt{2} $$

最小値：

$$ 2 - \frac{8}{2 - \sqrt{2}} = 2 - \frac{8(2+\sqrt{2})}{(2-\sqrt{2})(2+\sqrt{2})} = 2 - \frac{8(2+\sqrt{2})}{4-2} = 2 - 4(2+\sqrt{2}) = -6 - 4\sqrt{2} $$

解法2

定点 $(0, 0, 2)$ を $A$ とおく。点 $P$ の座標を $(X, Y, 0)$ とおくと、点 $P$ は半径 $1$ の円周上にあるため、

$$ X^2 + Y^2 = 1 \cdots \text{①} $$

が成り立つ。点 $Q$ の座標を $(x, y, z)$ とおく。点 $Q$ は直線 $AP$ 上にあるので、実数 $k$ を用いて $\vec{AQ} = k\vec{AP}$ と表せる。

$$ (x, y, z-2) = k(X, Y, -2) = (kX, kY, -2k) $$

これより、$x=kX$、$y=kY$、$z=2-2k$ である。点 $Q$ は平面 $x+y+z=-2$ 上にあるので、

$$ kX + kY + 2-2k = -2 $$

$$ k(X+Y) = 2k-4 \cdots \text{②} $$

ここで $k=0$ とすると、②より $0=-4$ となり矛盾するため $k \neq 0$ である。また、$z=2-2k$ より $k = \frac{2-z}{2}$ であり、$k \neq 0$ から $z \neq 2$ となる。 ②の両辺を $k$ で割り、$k = \frac{2-z}{2}$ を代入すると、

$$ X+Y = \frac{2k-4}{k} = 2 - \frac{4}{k} = 2 - \frac{8}{2-z} = \frac{2(2-z)-8}{2-z} = \frac{2z+4}{z-2} \cdots \text{③} $$

一方、実数 $X, Y$ について、コーシー・シュワルツの不等式 $(1^2+1^2)(X^2+Y^2) \ge (X+Y)^2$ を用いると、①より

$$ 2 \ge (X+Y)^2 $$

$$ -\sqrt{2} \le X+Y \le \sqrt{2} \cdots \text{④} $$

が成り立つ。（※直線 $X+Y=C$ と円 $X^2+Y^2=1$ が共有点をもつ条件から導くこともできる） ③を④に代入して、

$$ -\sqrt{2} \le \frac{2z+4}{z-2} \le \sqrt{2} $$

各辺から絶対値をとって表現すると、

$$ \left| \frac{2z+4}{z-2} \right| \le \sqrt{2} $$

両辺は正または $0$ であるから、そのまま2乗しても同値性は崩れない。

$$ \frac{4(z+2)^2}{(z-2)^2} \le 2 $$

$$ 2(z^2+4z+4) \le z^2-4z+4 $$

$$ z^2+12z+4 \le 0 $$

これを解くと、

$$ -6-4\sqrt{2} \le z \le -6+4\sqrt{2} $$

なお、$-6+4\sqrt{2} < -6+4\times 1.5 = 0 < 2$ であるため、$z \neq 2$ の条件は常に満たされている。よって、$z$ の最大値は $-6+4\sqrt{2}$、最小値は $-6-4\sqrt{2}$ である。

解説

空間図形において「定点と動点を通る直線と、特定の平面の交点」の軌跡や取り得る値の範囲を求める典型的な問題である。解法1のように、媒介変数 $\theta$ や直線上の点を表すパラメータ $t$ を自ら設定し、立式してから不要な文字を消去していく手法が最も確実である。最終的に分数関数と三角関数の合成に帰着するため、単調性に注意して最大最小を求めればよい。解法2のように、初めから座標を文字でおき、元の条件式 $X^2+Y^2=1$ と直線・平面の条件を連立させて不要な文字を消去し、$z$ だけの不等式を導く手法も強力である。実数の存在条件や不等式を利用して値域を絞り込む考え方は、難関大で頻出の処理である。