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九州大学 1997年文系第6問解説

方針・初手

位置ベクトル $\overrightarrow{OA}, \overrightarrow{OB}$ を基準として、各点の位置ベクトルを表現する。 (1) では、点が三角形の内部にあるための係数の条件を用いる。(2) は三角形の面積公式を利用し、辺の比から面積比を求める。(3) では、点が同一直線上にある条件（共線条件）から係数の関係式を導く。(4) では、(3) で得られた関係式を用いて、(2) で求めた面積比の最小値を考える。条件式の形から、相加平均と相乗平均の大小関係の利用が有効である。

解法1

(1)

$\overrightarrow{OG} = k\overrightarrow{OA} + k\overrightarrow{OB}$ について、点 $G$ が $\triangle OAB$ の内部にあるための条件は、$\overrightarrow{OA}$ と $\overrightarrow{OB}$ の係数について、それぞれの係数が正であり、かつその和が $1$ より小さいことである。すなわち、

$$k > 0, \quad k > 0, \quad k+k < 1$$

これを解いて、

$$0 < k < \frac{1}{2}$$

(2)

$\triangle OAB = \frac{1}{2} |\overrightarrow{OA}||\overrightarrow{OB}|\sin\angle AOB$ である。 $\overrightarrow{OP} = p\overrightarrow{OA}, \overrightarrow{OQ} = q\overrightarrow{OB}$ より、

$$\triangle OPQ = \frac{1}{2} |\overrightarrow{OP}||\overrightarrow{OQ}|\sin\angle AOB$$

$$= \frac{1}{2} (p|\overrightarrow{OA}|) (q|\overrightarrow{OB}|)\sin\angle AOB$$

$$= pq \left( \frac{1}{2} |\overrightarrow{OA}||\overrightarrow{OB}|\sin\angle AOB \right)$$

$$= pq \triangle OAB$$

したがって、$S' = pqS$ となるので、

$$\frac{S'}{S} = pq$$

(3)

3点 $G, P, Q$ が同一直線上にあるとき、点 $G$ は直線 $PQ$ 上にある。 $0 < p < 1, 0 < q < 1$ より $p \neq 0, q \neq 0$ であるから、条件式を $\overrightarrow{OA}, \overrightarrow{OB}$ について解くと $\overrightarrow{OA} = \frac{1}{p}\overrightarrow{OP}, \overrightarrow{OB} = \frac{1}{q}\overrightarrow{OQ}$ と表せる。これを $\overrightarrow{OG} = k(\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB})$ に代入すると、

$$\overrightarrow{OG} = k \left( \frac{1}{p}\overrightarrow{OP} + \frac{1}{q}\overrightarrow{OQ} \right) = \frac{k}{p}\overrightarrow{OP} + \frac{k}{q}\overrightarrow{OQ}$$

点 $G$ が直線 $PQ$ 上にあるための条件は、$\overrightarrow{OP}, \overrightarrow{OQ}$ の係数の和が $1$ となることである。

$$\frac{k}{p} + \frac{k}{q} = 1$$

$$k \left( \frac{p+q}{pq} \right) = 1$$

よって、

$$k = \frac{pq}{p+q}$$

(4)

(2), (3) より、$\frac{S'}{S} = pq$ であり、$k = \frac{pq}{p+q}$ である。 $k = \frac{1}{4}$ のとき、

$$\frac{1}{4} = \frac{pq}{p+q}$$

$$p+q = 4pq \quad \cdots ①$$

$0 < p < 1, 0 < q < 1$ であるから、$p > 0, q > 0$ であり、相加平均と相乗平均の大小関係より、

$$p+q \geqq 2\sqrt{pq}$$

等号は $p=q$ のとき成り立つ。 ①を代入して、

$$4pq \geqq 2\sqrt{pq}$$

$\sqrt{pq} > 0$ であるから、両辺を $2\sqrt{pq}$ で割って、

$$2\sqrt{pq} \geqq 1$$

$$\sqrt{pq} \geqq \frac{1}{2}$$

両辺は正であるから2乗して、

$$pq \geqq \frac{1}{4}$$

等号成立条件は $p=q$ であり、このとき①より $2p = 4p^2$ となる。$p \neq 0$ より $p = \frac{1}{2}$ である。このとき $q = \frac{1}{2}$ であり、これは条件 $0 < p < 1, 0 < q < 1$ を満たす。よって、$\frac{S'}{S} = pq$ の最小値は $\frac{1}{4}$ である。

解法2

(4) の別解：微分を用いた解法

(2), (3) より、$\frac{S'}{S} = pq$ であり、$k = \frac{pq}{p+q}$ である。 $k = \frac{1}{4}$ のとき、$\frac{1}{4} = \frac{pq}{p+q}$ より $p+q = 4pq$ となる。これを $q$ について解くと、

$$q(4p-1) = p$$

$p = \frac{1}{4}$ とすると $0 = \frac{1}{4}$ となり矛盾するため、$4p-1 \neq 0$ である。よって、

$$q = \frac{p}{4p-1}$$

$0 < q < 1$ であるから、

$$0 < \frac{p}{4p-1} < 1$$

$p > 0$ より $4p-1 > 0$ つまり $p > \frac{1}{4}$ が必要である。このとき $\frac{p}{4p-1} < 1$ を解くと、

$$p < 4p-1$$

$$1 < 3p$$

よって、$p > \frac{1}{3}$ となる。条件 $0 < p < 1$ と合わせて、定義域は $\frac{1}{3} < p < 1$ となる。ここで、求める値 $\frac{S'}{S} = pq$ を $p$ の関数 $f(p)$ とおくと、

$$f(p) = p \cdot \frac{p}{4p-1} = \frac{p^2}{4p-1}$$

$f(p)$ を $p$ で微分すると、

$$f'(p) = \frac{2p(4p-1) - p^2 \cdot 4}{(4p-1)^2} = \frac{8p^2 - 2p - 4p^2}{(4p-1)^2} = \frac{2p(2p-1)}{(4p-1)^2}$$

$f'(p) = 0$ となる $p$ は $p=0, \frac{1}{2}$ である。$\frac{1}{3} < p < 1$ における増減を考えると、$p = \frac{1}{2}$ の前後で $f'(p)$ の符号が負から正へ変化するため、$p = \frac{1}{2}$ で極小かつ最小となる。最小値は、

$$f\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\left(\frac{1}{2}\right)^2}{4\cdot \frac{1}{2} - 1} = \frac{\frac{1}{4}}{1} = \frac{1}{4}$$

このとき $q = \frac{1}{2}$ となり、$0 < q < 1$ を満たす。よって、最小値は $\frac{1}{4}$ である。

解説

平面ベクトルにおける面積比、共線条件（点が同一直線上にある条件）を問う標準的な総合問題である。 (1) は斜交座標における領域の基本条件の確認である。 (2) の面積比は、三角形の面積公式を用いて辺の長さの比から導く定石通りの処理である。 (3) の共線条件は、基準となるベクトルを揃えて係数比較を行うか、本解のようにベクトルの終点が直線上にある条件「係数の和が $1$」を用いるのが効率的である。 (4) は条件式から積 $pq$ の最小値を求める問題であり、解法1のように相加平均・相乗平均の大小関係に気づけると計算量が少なく済む。気づかない場合でも、解法2のように1文字消去して微分で求めるアプローチへ切り替えることで確実に正答を導くことができる。