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九州大学 2002年文系第6問解説

方針・初手

(1)は、三角形の面積の公式と、ベクトルの内積と成す角の関係式を組み合わせて証明します。 (2)は、平行六面体の各辺を基底ベクトル $\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AD}, \overrightarrow{AE}$ で表し、与えられた辺の長さと角度の条件を内積の値として整理します。その後、(1)で示した公式に代入して計算を進めます。 (3)は、(2)で得られた面積の式に含まれる $x-y$ を1つの変数と置き、2次関数の最小値問題に帰着させます。点 $P$ の動く範囲から変数の定義域を正しく設定し、軸の位置による場合分けを行います。

解法1

(1) $\overrightarrow{AB}$ と $\overrightarrow{AC}$ のなす角を $\theta \ (0^\circ < \theta < 180^\circ)$ とする。三角形の面積公式より、次が成り立つ。

$$\triangle ABC = \frac{1}{2} |\overrightarrow{AB}| |\overrightarrow{AC}| \sin \theta$$

$0^\circ < \theta < 180^\circ$ において $\sin \theta > 0$ であるから、$\sin \theta = \sqrt{1 - \cos^2 \theta}$ となる。これを面積の式に代入する。

$$\triangle ABC = \frac{1}{2} |\overrightarrow{AB}| |\overrightarrow{AC}| \sqrt{1 - \cos^2 \theta}$$

ルートの前に出ている $|\overrightarrow{AB}| |\overrightarrow{AC}|$ をルートの中に入れると、次のようになる。

$$\triangle ABC = \frac{1}{2} \sqrt{|\overrightarrow{AB}|^2 |\overrightarrow{AC}|^2 - (|\overrightarrow{AB}| |\overrightarrow{AC}| \cos \theta)^2}$$

ここで、内積の定義 $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = |\overrightarrow{AB}| |\overrightarrow{AC}| \cos \theta$ を用いると、次が得られる。

$$\triangle ABC = \frac{1}{2} \sqrt{|\overrightarrow{AB}|^2 |\overrightarrow{AC}|^2 - (\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC})^2}$$

以上により、示された。

(2) $\overrightarrow{AB} = \vec{b}$, $\overrightarrow{AD} = \vec{d}$, $\overrightarrow{AE} = \vec{e}$ とおく。与えられた条件より、各ベクトルの大きさは以下の通りである。

$$|\vec{b}| = 1, \quad |\vec{d}| = 1, \quad |\vec{e}| = 2a$$

次に、角度の条件から内積を求める。 $\angle FBC = 90^\circ$ より $\overrightarrow{BF} \cdot \overrightarrow{BC} = 0$ であり、$\overrightarrow{BF} = \vec{e}$, $\overrightarrow{BC} = \vec{d}$ なので $\vec{d} \cdot \vec{e} = 0$ である。 $\angle BCD = 90^\circ$ より $\overrightarrow{CB} \cdot \overrightarrow{CD} = 0$ であり、$\overrightarrow{CB} = -\vec{d}$, $\overrightarrow{CD} = -\vec{b}$ なので $\vec{b} \cdot \vec{d} = 0$ である。 $\angle EAB = 120^\circ$ より、内積の定義から次のように計算できる。

$$\vec{e} \cdot \vec{b} = |\vec{e}| |\vec{b}| \cos 120^\circ = 2a \times 1 \times \left(-\frac{1}{2}\right) = -a$$

点 $P$ は面 $EFGH$ 上にあり、$PI \perp EF$, $PJ \perp EH$ である。 $\vec{b} \cdot \vec{d} = 0$ より四角形 $EFGH$ は長方形（辺の長さから正方形）であり、$EF \perp EH$ である。したがって、$\overrightarrow{EI}$ と $\overrightarrow{EJ}$ は直交し、$\overrightarrow{EP} = \overrightarrow{EI} + \overrightarrow{EJ}$ と表せる。また、$\overrightarrow{EI}$ は $\overrightarrow{EF} = \vec{b}$ と同方向、$\overrightarrow{EJ}$ は $\overrightarrow{EH} = \vec{d}$ と同方向であるから、$x = |\overrightarrow{EI}|$, $y = |\overrightarrow{EJ}|$ を用いて次のように表される。

$$\overrightarrow{EP} = x\vec{b} + y\vec{d}$$

ここで、$P$ が面 $EFGH$（正方形の周および内部）上にあることから、$0 \le x \le 1$, $0 \le y \le 1$ である。

$\overrightarrow{AC}$ と $\overrightarrow{AP}$ を $\vec{b}, \vec{d}, \vec{e}$ で表す。

$$\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \vec{b} + \vec{d}$$

$$\overrightarrow{AP} = \overrightarrow{AE} + \overrightarrow{EP} = \vec{e} + x\vec{b} + y\vec{d}$$

(1)の公式を利用するために、必要な値を順に計算する。

$$|\overrightarrow{AC}|^2 = |\vec{b} + \vec{d}|^2 = |\vec{b}|^2 + 2\vec{b} \cdot \vec{d} + |\vec{d}|^2 = 1 + 0 + 1 = 2$$

$$\begin{aligned} \overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{AP} &= (\vec{b} + \vec{d}) \cdot (x\vec{b} + y\vec{d} + \vec{e}) \\ &= x|\vec{b}|^2 + y\vec{b} \cdot \vec{d} + \vec{b} \cdot \vec{e} + x\vec{d} \cdot \vec{b} + y|\vec{d}|^2 + \vec{d} \cdot \vec{e} \\ &= x \cdot 1 + 0 - a + 0 + y \cdot 1 + 0 \\ &= x + y - a \end{aligned}$$

$$\begin{aligned} |\overrightarrow{AP}|^2 &= |x\vec{b} + y\vec{d} + \vec{e}|^2 \\ &= x^2|\vec{b}|^2 + y^2|\vec{d}|^2 + |\vec{e}|^2 + 2xy\vec{b} \cdot \vec{d} + 2y\vec{d} \cdot \vec{e} + 2x\vec{e} \cdot \vec{b} \\ &= x^2 \cdot 1 + y^2 \cdot 1 + (2a)^2 + 0 + 0 + 2x(-a) \\ &= x^2 + y^2 - 2ax + 4a^2 \end{aligned}$$

これらを(1)で示した面積の公式のルートの中の式に代入する。

$$\begin{aligned} |\overrightarrow{AC}|^2 |\overrightarrow{AP}|^2 - (\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{AP})^2 &= 2(x^2 + y^2 - 2ax + 4a^2) - (x + y - a)^2 \\ &= 2x^2 + 2y^2 - 4ax + 8a^2 - (x^2 + y^2 + a^2 + 2xy - 2ax - 2ay) \\ &= x^2 - 2xy + y^2 - 2ax + 2ay + 7a^2 \\ &= (x - y)^2 - 2a(x - y) + 7a^2 \end{aligned}$$

よって、$\triangle ACP$ の面積は次のように表される。

$$\triangle ACP = \frac{1}{2} \sqrt{(x - y)^2 - 2a(x - y) + 7a^2}$$

(3) 点 $P$ が面 $EFGH$ 上を動くとき、$x, y$ の取り得る範囲は $0 \le x \le 1$, $0 \le y \le 1$ である。ここで、$t = x - y$ とおくと、$x$ と $y$ の範囲から $t$ の取り得る範囲は $-1 \le t \le 1$ となる。 (2)で求めたルートの中の式を $f(t)$ とおいて平方完成する。

$$f(t) = t^2 - 2at + 7a^2 = (t - a)^2 + 6a^2$$

これは下に凸の放物線であり、軸は直線 $t = a$ である。 $a > 0$ であることに注意して、区間 $-1 \le t \le 1$ における $f(t)$ の最小値を考える。

(i) $0 < a < 1$ のとき

軸 $t = a$ は区間 $-1 \le t \le 1$ の内部にあるため、$t = a$ で最小となる。最小値は $f(a) = 6a^2$ である。このとき、$\triangle ACP$ の面積の最小値は以下のようになる。

$$\frac{1}{2} \sqrt{6a^2} = \frac{\sqrt{6}}{2} a \quad (\because a > 0)$$

(ii) $a \ge 1$ のとき

軸 $t = a$ は区間 $-1 \le t \le 1$ の右側に外れているため、$f(t)$ は $-1 \le t \le 1$ において単調減少する。したがって、$t = 1$ のときに最小となる。最小値は $f(1) = 7a^2 - 2a + 1$ である。このとき、$\triangle ACP$ の面積の最小値は以下のようになる。

$$\frac{1}{2} \sqrt{7a^2 - 2a + 1}$$

以上により、面積の最小値が求まった。

解説

空間ベクトルの計算と、多変数の最大・最小を融合した標準的な問題です。 (1)の三角形の面積公式は、空間座標や空間ベクトルにおいて頻繁に用いられるため、確実に導出できるようにしておく必要があります。 (2)は、平行六面体の形状からベクトルの内積を正しく求められるかが問われています。計算量はやや多いですが、$x$ と $y$ について対称に近い形になることを見越して整理するとミスを防ぎやすくなります。 (3)では、面積の式に現れる $x-y$ を1つの変数 $t$ と置いて1変数の問題に帰着させるのがポイントです。点 $P$ が面の上を動くという条件から $x, y$ が独立に $0$ から $1$ まで動くことを把握し、$t$ の変域を正確に求め、軸の位置による場合分けを丁寧に行うことが求められます。