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九州大学 2019年文系第3問解説

方針・初手

(1) 3点 $A, B, C$ を通る平面 $\alpha$ の方程式を求め、点と平面の距離の公式を用いて垂線 $PH$ の長さを計算する。平面の方程式を求めるには、平面上の2つのベクトルに垂直な法線ベクトルを見つけるのが定石である。

(2) 四面体 $ABCP$ の体積は、底面を $\triangle ABC$、高さを $PH$ とみることで求められる。$\triangle ABC$ の面積は一定なので、体積の最大・最小は $PH$ の最大・最小、すなわち $p, q$ から構成される式の最大・最小に帰着する。与えられた $p, q$ の条件式を $pq$ 平面上の円の方程式と捉え、図形的な距離の条件を利用するか、三角関数で媒介変数表示をして処理する。

解法1

(1) 点 $A(1, 2, 3)$、点 $B(3, 2, 3)$、点 $C(4, 5, 6)$ より、ベクトル $\vec{AB}$ と $\vec{AC}$ は次のように求まる。

$$ \begin{aligned} \vec{AB} &= (3-1, 2-2, 3-3) = (2, 0, 0) \\ \vec{AC} &= (4-1, 5-2, 6-3) = (3, 3, 3) \end{aligned} $$

平面 $\alpha$ の法線ベクトルの一つを $\vec{n} = (a, b, c)$ とする。$\vec{n} \perp \vec{AB}$ かつ $\vec{n} \perp \vec{AC}$ であるから、内積が $0$ となる。

$$ \begin{cases} 2a = 0 \\ 3a + 3b + 3c = 0 \end{cases} $$

これを解くと、$a = 0$ かつ $c = -b$ となる。$b = 1$ とすると、$\vec{n} = (0, 1, -1)$ を得る。

平面 $\alpha$ は点 $A(1, 2, 3)$ を通り、法線ベクトルが $\vec{n} = (0, 1, -1)$ であるから、その方程式は次のように表せる。

$$ 0(x - 1) + 1(y - 2) - 1(z - 3) = 0 $$

整理すると、平面 $\alpha$ の方程式は $y - z + 1 = 0$ となる。

点 $P(6, p, q)$ から平面 $y - z + 1 = 0$ に下ろした垂線の長さ $PH$ は、点と平面の距離の公式より

$$ PH = \frac{|p - q + 1|}{\sqrt{0^2 + 1^2 + (-1)^2}} = \frac{|p - q + 1|}{\sqrt{2}} $$

(2) 四面体 $ABCP$ の底面を $\triangle ABC$ としたときの面積を求める。

$$ \begin{aligned} |\vec{AB}|^2 &= 2^2 + 0^2 + 0^2 = 4 \\ |\vec{AC}|^2 &= 3^2 + 3^2 + 3^2 = 27 \\ \vec{AB} \cdot \vec{AC} &= 2 \cdot 3 + 0 \cdot 3 + 0 \cdot 3 = 6 \end{aligned} $$

三角形の面積公式を用いて計算する。

$$ \triangle ABC = \frac{1}{2}\sqrt{|\vec{AB}|^2|\vec{AC}|^2 - (\vec{AB} \cdot \vec{AC})^2} = \frac{1}{2}\sqrt{4 \cdot 27 - 6^2} = \frac{1}{2}\sqrt{108 - 36} = 3\sqrt{2} $$

四面体 $ABCP$ の体積 $V$ は、底面積が $\triangle ABC$、高さが $PH$ であるから

$$ V = \frac{1}{3} \cdot \triangle ABC \cdot PH = \frac{1}{3} \cdot 3\sqrt{2} \cdot \frac{|p - q + 1|}{\sqrt{2}} = |p - q + 1| $$

ここで、$k = p - q + 1$ とおく。

条件 $(p-9)^2 + (q-7)^2 = 1$ は、$pq$ 平面において中心 $(9, 7)$、半径 $1$ の円を表す。また、$p - q + 1 - k = 0$ は $pq$ 平面上の直線を意味する。

これらが共有点を持つための条件は、円の中心 $(9, 7)$ と直線 $p - q + 1 - k = 0$ との距離 $d$ が、円の半径 $1$ 以下であることである。点と直線の距離の公式より

$$ d = \frac{|9 - 7 + 1 - k|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} = \frac{|3 - k|}{\sqrt{2}} $$

$d \leqq 1$ であるから

$$ \frac{|3 - k|}{\sqrt{2}} \leqq 1 $$

$$ |3 - k| \leqq \sqrt{2} $$

絶対値を外して $k$ について解く。

$$ -\sqrt{2} \leqq 3 - k \leqq \sqrt{2} $$

$$ 3 - \sqrt{2} \leqq k \leqq 3 + \sqrt{2} $$

$3 - \sqrt{2} > 0$ であるため、この範囲において $k$ は常に正である。したがって、$V = |k| = k$ であり、$V$ のとりうる値の範囲は

$$ 3 - \sqrt{2} \leqq V \leqq 3 + \sqrt{2} $$

以上より、体積の最大値は $3 + \sqrt{2}$、最小値は $3 - \sqrt{2}$ である。

解法2

(1) については解法1と同様。

(2) 解法1と同様に、四面体の体積 $V$ は $V = |p - q + 1|$ と表せる。

点 $P$ は $(p-9)^2 + (q-7)^2 = 1$ を満たすから、実数 $\theta$ を用いて次のように媒介変数表示できる。

$$ \begin{cases} p = 9 + \cos\theta \\ q = 7 + \sin\theta \end{cases} $$

これを $p - q + 1$ に代入する。

$$ p - q + 1 = (9 + \cos\theta) - (7 + \sin\theta) + 1 = 3 + \cos\theta - \sin\theta $$

三角関数の合成を用いると、次のように変形できる。

$$ p - q + 1 = 3 + \sqrt{2}\cos\left(\theta + \frac{\pi}{4}\right) $$

$-1 \leqq \cos\left(\theta + \frac{\pi}{4}\right) \leqq 1$ であるから、この式のとりうる値の範囲は

$$ 3 - \sqrt{2} \leqq p - q + 1 \leqq 3 + \sqrt{2} $$

$3 - \sqrt{2} > 0$ であるため、$p - q + 1$ は常に正の値をとる。したがって、$V = |p - q + 1| = p - q + 1$ となり、$V$ の最大値は $3 + \sqrt{2}$、最小値は $3 - \sqrt{2}$ である。

解説

空間図形における体積の最大・最小を求める標準的な問題である。空間座標において平面の方程式と点と平面の距離の公式を使いこなせるかが鍵となる。公式を覚えていれば (1) は機械的な計算で処理できる。

(2) では $p, q$ という2変数が条件付きで動くため、これを図形的に解釈するか（解法1）、1変数 $\theta$ に帰着させて処理するか（解法2）のいずれかの発想が必要である。解法2の三角関数の合成を用いるアプローチは、円周上の点の座標を扱う際の非常に強力な武器となるため、確実に定着させておきたい。