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九州大学 2015年文系第2問解説

方針・初手

空間ベクトルを用いて、正四面体の頂点に関する各点の位置ベクトルを定義し、機械的に計算を進める。正四面体はすべての辺の長さが等しく、各面の三角形が正三角形であることから、頂点を始点とする基本ベクトル同士の内積がすべて等しくなるという性質を利用する。

解法1

$\overrightarrow{OA} = \vec{a}$、$\overrightarrow{OB} = \vec{b}$、$\overrightarrow{OC} = \vec{c}$ とおく。正四面体の 1 辺の長さは $1$ であるため、各ベクトルの大きさは、

$$ |\vec{a}| = |\vec{b}| = |\vec{c}| = 1 $$

である。また、各面の三角形は正三角形であるため、なす角はすべて $60^\circ$ であり、内積は、

$$ \vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{c} = \vec{c} \cdot \vec{a} = 1 \times 1 \times \cos 60^\circ = \frac{1}{2} $$

となる。

問題の条件より、点 $P, Q, R$ の位置ベクトルは以下のように表される。点 $P$ は辺 $OA$ の中点であるから、

$$ \overrightarrow{OP} = \frac{1}{2}\vec{a} $$

点 $Q$ は辺 $OB$ を $2:1$ に内分する点であるから、

$$ \overrightarrow{OQ} = \frac{2}{3}\vec{b} $$

点 $R$ は辺 $OC$ を $1:3$ に内分する点であるから、

$$ \overrightarrow{OR} = \frac{1}{4}\vec{c} $$

(1)

$\overrightarrow{PQ}$ および $\overrightarrow{PR}$ を $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ を用いて表すと、

$$ \begin{aligned} \overrightarrow{PQ} &= \overrightarrow{OQ} - \overrightarrow{OP} = -\frac{1}{2}\vec{a} + \frac{2}{3}\vec{b} \\ \overrightarrow{PR} &= \overrightarrow{OR} - \overrightarrow{OP} = -\frac{1}{2}\vec{a} + \frac{1}{4}\vec{c} \end{aligned} $$

となる。線分 $PQ$ の長さの2乗は、

$$ \begin{aligned} |\overrightarrow{PQ}|^2 &= \left| -\frac{1}{2}\vec{a} + \frac{2}{3}\vec{b} \right|^2 \\ &= \frac{1}{4}|\vec{a}|^2 - \frac{2}{3}\vec{a}\cdot\vec{b} + \frac{4}{9}|\vec{b}|^2 \\ &= \frac{1}{4}(1) - \frac{2}{3}\left(\frac{1}{2}\right) + \frac{4}{9}(1) \\ &= \frac{1}{4} - \frac{1}{3} + \frac{4}{9} \\ &= \frac{9 - 12 + 16}{36} \\ &= \frac{13}{36} \end{aligned} $$

$|\overrightarrow{PQ}| > 0$ より、線分 $PQ$ の長さは、

$$ PQ = \frac{\sqrt{13}}{6} $$

同様に、線分 $PR$ の長さの2乗は、

$$ \begin{aligned} |\overrightarrow{PR}|^2 &= \left| -\frac{1}{2}\vec{a} + \frac{1}{4}\vec{c} \right|^2 \\ &= \frac{1}{4}|\vec{a}|^2 - \frac{1}{4}\vec{a}\cdot\vec{c} + \frac{1}{16}|\vec{c}|^2 \\ &= \frac{1}{4}(1) - \frac{1}{4}\left(\frac{1}{2}\right) + \frac{1}{16}(1) \\ &= \frac{1}{4} - \frac{1}{8} + \frac{1}{16} \\ &= \frac{4 - 2 + 1}{16} \\ &= \frac{3}{16} \end{aligned} $$

$|\overrightarrow{PR}| > 0$ より、線分 $PR$ の長さは、

$$ PR = \frac{\sqrt{3}}{4} $$

(2)

$\overrightarrow{PQ}$ と $\overrightarrow{PR}$ の内積を計算する。

$$ \begin{aligned} \overrightarrow{PQ} \cdot \overrightarrow{PR} &= \left( -\frac{1}{2}\vec{a} + \frac{2}{3}\vec{b} \right) \cdot \left( -\frac{1}{2}\vec{a} + \frac{1}{4}\vec{c} \right) \\ &= \frac{1}{4}|\vec{a}|^2 - \frac{1}{8}\vec{a}\cdot\vec{c} - \frac{1}{3}\vec{a}\cdot\vec{b} + \frac{1}{6}\vec{b}\cdot\vec{c} \\ &= \frac{1}{4}(1) - \frac{1}{8}\left(\frac{1}{2}\right) - \frac{1}{3}\left(\frac{1}{2}\right) + \frac{1}{6}\left(\frac{1}{2}\right) \\ &= \frac{1}{4} - \frac{1}{16} - \frac{1}{6} + \frac{1}{12} \end{aligned} $$

分母を $48$ で通分すると、

$$ \begin{aligned} \overrightarrow{PQ} \cdot \overrightarrow{PR} &= \frac{12}{48} - \frac{3}{48} - \frac{8}{48} + \frac{4}{48} \\ &= \frac{12 - 3 - 8 + 4}{48} \\ &= \frac{5}{48} \end{aligned} $$

(3)

ベクトルを用いた三角形の面積公式を用いて $\triangle PQR$ の面積 $S$ を求める。

$$ S = \frac{1}{2} \sqrt{ |\overrightarrow{PQ}|^2 |\overrightarrow{PR}|^2 - (\overrightarrow{PQ} \cdot \overrightarrow{PR})^2 } $$

(1) および (2) の結果を代入する。

$$ \begin{aligned} |\overrightarrow{PQ}|^2 |\overrightarrow{PR}|^2 &= \frac{13}{36} \times \frac{3}{16} = \frac{13}{192} \\ (\overrightarrow{PQ} \cdot \overrightarrow{PR})^2 &= \left( \frac{5}{48} \right)^2 = \frac{25}{2304} \end{aligned} $$

ルートの中身を計算するため、分母を $2304$ ($= 48^2$) に通分する。$192 \times 12 = 2304$ であるから、

$$ \begin{aligned} |\overrightarrow{PQ}|^2 |\overrightarrow{PR}|^2 - (\overrightarrow{PQ} \cdot \overrightarrow{PR})^2 &= \frac{13 \times 12}{192 \times 12} - \frac{25}{2304} \\ &= \frac{156}{2304} - \frac{25}{2304} \\ &= \frac{131}{2304} \end{aligned} $$

したがって、面積 $S$ は、

$$ \begin{aligned} S &= \frac{1}{2} \sqrt{ \frac{131}{2304} } \\ &= \frac{1}{2} \times \frac{\sqrt{131}}{48} \\ &= \frac{\sqrt{131}}{96} \end{aligned} $$

解説

正四面体の問題をベクトルで処理する際の基本となる定石問題である。基準となる 3 つのベクトル $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ の大きさと内積を最初に正しく設定できれば、あとは展開と代入の単純な計算に帰着する。

(3) の面積については、(1) と (2) の誘導にしたがってベクトルの面積公式 $S = \frac{1}{2}\sqrt{|\vec{u}|^2|\vec{v}|^2 - (\vec{u}\cdot\vec{v})^2}$ を用いるのが最も効率的である。この公式の根号内は通分計算が煩雑になりがちなので、約分や素因数分解をうまく活用して計算ミスを防ぎたい。