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九州大学 2004年文系第1問解説

方針・初手

(1)は与えられた通過点の座標を関数に代入して $p$ を求める。
(2)は2つの関数の式を連立させ、絶対値を含む方程式を解く。$x^2 = |x|^2$ を利用すると見通しが良い。
(3)は微分を用いて接線の方程式を求め、絶対値を含む1次方程式を解いて交点を求める。
(4)は領域の図示を行い、上下関係を把握した上で定積分により面積を計算する。$f(x)$ と $g(x)$ の交点を利用して積分区間を分割する。

解法1

(1)

放物線 $y = f(x)$ が点 $(3\sqrt{2}, 0)$ を通ることから、

$$0 = -p(3\sqrt{2})^2 + 2$$

$$18p = 2$$

$$p = \frac{1}{9}$$

これは $p > 0$ を満たす。また、点 $(-3\sqrt{2}, 0)$ を通る条件も $f(-3\sqrt{2}) = -18p + 2 = 0$ となり満たされる。

(2)

(1)より $f(x) = -\frac{1}{9}x^2 + 2$ である。 $y = f(x)$ と $y = g(x)$ の交点の $x$ 座標は、方程式 $f(x) = g(x)$ の解である。

$$-\frac{1}{9}x^2 + 2 = |x| - 2$$

整理すると、

$$x^2 + 9|x| - 36 = 0$$

$x^2 = |x|^2$ より、

$$|x|^2 + 9|x| - 36 = 0$$

$$(|x| + 12)(|x| - 3) = 0$$

$|x| \geqq 0$ であるから、$|x| = 3$ となり、$x = \pm 3$ を得る。このとき、$y = g(\pm 3) = 3 - 2 = 1$ となる。したがって、求める交点は $(-3, 1), (3, 1)$ である。

(3)

(2)より、交点のうち $x$ 座標が最小となる点 $A$ の座標は $(-3, 1)$ であり、$a = -3$ である。 $f(x) = -\frac{1}{9}x^2 + 2$ を微分すると、

$$f'(x) = -\frac{2}{9}x$$

点 $A(-3, 1)$ における接線の傾きは $f'(-3) = \frac{2}{3}$ となる。よって、接線 $y = h(x)$ の方程式は、

$$y - 1 = \frac{2}{3}(x - (-3))$$

$$y = \frac{2}{3}x + 3$$

したがって、$h(x) = \frac{2}{3}x + 3$ である。

次に、直線 $y = h(x)$ と $y = g(x)$ の交点 $B$ の $x$ 座標を求める。

$$\frac{2}{3}x + 3 = |x| - 2$$

$$|x| = \frac{2}{3}x + 5$$

(i) $x \geqq 0$ のとき

方程式は $x = \frac{2}{3}x + 5$ となり、これを解くと $x = 15$ となる。これは $x \geqq 0$ を満たす。このとき、$y = g(15) = 15 - 2 = 13$ となる。

(ii) $x < 0$ のとき

方程式は $-x = \frac{2}{3}x + 5$ となり、これを解くと $x = -3$ となる。これは $x < 0$ を満たすが、点 $A$ の $x$ 座標である。

求める点 $B$ は点 $A$ とは異なる交点であるため、点 $B$ の座標は $(15, 13)$ である。また、$b = 15$ である。

(4)

連立不等式が定める領域の $x$ 座標の範囲は、$-3 \leqq x \leqq 15$ である。領域の境界の上下関係を調べる。区間 $-3 \leqq x \leqq 3$ においては、(2)の解と $f(0) = 2, g(0) = -2$ より、$f(x) \geqq g(x)$ が成り立つ。また、放物線は上に凸であり、接線は常に放物線の上側または接点にあるため、$h(x) \geqq f(x)$ である。区間 $3 \leqq x \leqq 15$ においては、$x \geqq 0$ より $g(x) = x - 2$ であり、(3)の計算結果とグラフの位置関係から $h(x) \geqq g(x)$ が成り立つ。

したがって、求める面積を $S$ とすると、$S$ は区間 $[-3, 3]$ における $h(x)$ と $f(x)$ の間の面積と、区間 $[3, 15]$ における $h(x)$ と $g(x)$ の間の面積の和となる。

$$S = \int_{-3}^{3} \{h(x) - f(x)\} dx + \int_{3}^{15} \{h(x) - g(x)\} dx$$

ここで、第1項の積分を $S_1$、第2項の積分を $S_2$ とおく。

$$S_1 = \int_{-3}^{3} \left\{ \left(\frac{2}{3}x + 3\right) - \left(-\frac{1}{9}x^2 + 2\right) \right\} dx$$

$$= \int_{-3}^{3} \frac{1}{9}(x^2 + 6x + 9) dx$$

$$= \frac{1}{9} \int_{-3}^{3} (x + 3)^2 dx$$

$$= \frac{1}{9} \left[ \frac{(x + 3)^3}{3} \right]_{-3}^{3}$$

$$= \frac{1}{27} \cdot 6^3 = 8$$

次に、$S_2$ を計算する。区間 $[3, 15]$ において $g(x) = x - 2$ であるから、

$$S_2 = \int_{3}^{15} \left\{ \left(\frac{2}{3}x + 3\right) - (x - 2) \right\} dx$$

$$= \int_{3}^{15} \left( -\frac{1}{3}x + 5 \right) dx$$

$$= \left[ -\frac{1}{6}x^2 + 5x \right]_{3}^{15}$$

$$= \left( -\frac{225}{6} + 75 \right) - \left( -\frac{9}{6} + 15 \right)$$

$$= \frac{225}{6} - \frac{81}{6} = \frac{144}{6} = 24$$

よって、求める面積 $S$ は、

$$S = S_1 + S_2 = 8 + 24 = 32$$

解説

絶対値を含む関数と放物線の交点や領域の面積を求める、微積分の標準的な総合問題。 (2)では、$x^2 = |x|^2$ と置き換えて $|x|$ の2次方程式として処理すると、場合分けの手間が省けて計算ミスを防ぎやすい。 (4)では、領域の上下関係を正確に把握することが重要である。$x=3$ を境目として下側の境界となる関数が $f(x)$ から $g(x)$ に切り替わるため、積分区間を分割して計算する。接線と放物線で囲まれた面積の計算では、$\int (x - \alpha)^2 dx = \frac{(x - \alpha)^3}{3} + C$ の公式を利用すると素早く正確に計算できる。また、後半の $S_2$ に相当する部分は直線同士で囲まれた三角形の面積となるため、定積分を使わずに底辺と高さから計算（$S_2 = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 12 = 24$）することで、時間短縮と検算が可能である。