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九州大学 1971年理系第1問解説

(1)

方針・初手

絶対値を含む不等式の処理がポイントである。絶対値の中身の正負によって場合分けをして絶対値を外す方法もあるが、ここでは $|A| > B \iff A > B$ または $A < -B$ という同値変形を利用すると計算の見通しが良い。また、グラフを利用して視覚的に解くことも有効である。

解法1

絶対値を含む不等式 $|A| > B$ は、$A > B$ または $A < -B$ と同値である。これを用いて与えられた不等式を変形する。

$$x^2 - \frac{1}{2} > 2x \quad \text{または} \quad x^2 - \frac{1}{2} < -2x$$

すなわち、

$$2x^2 - 4x - 1 > 0 \quad \cdots \text{①}$$

または

$$2x^2 + 4x - 1 < 0 \quad \cdots \text{②}$$

①について、$2x^2 - 4x - 1 = 0$ を解くと $x = \frac{2 \pm \sqrt{6}}{2}$ であるから、不等式①の解は

$$x < \frac{2 - \sqrt{6}}{2}, \quad \frac{2 + \sqrt{6}}{2} < x$$

②について、$2x^2 + 4x - 1 = 0$ を解くと $x = \frac{-2 \pm \sqrt{6}}{2}$ であるから、不等式②の解は

$$\frac{-2 - \sqrt{6}}{2} < x < \frac{-2 + \sqrt{6}}{2}$$

求める解はこれらの和集合である。ここで、$\sqrt{4} < \sqrt{6} < \sqrt{9}$ より $2 < \sqrt{6} < 3$ であるから、

$$\frac{-2 - \sqrt{6}}{2} < \frac{2 - \sqrt{6}}{2} < \frac{-2 + \sqrt{6}}{2}$$

が成り立つ。したがって、①と②の解の和集合をとると、

$$x < \frac{-2 + \sqrt{6}}{2}, \quad x > \frac{2 + \sqrt{6}}{2}$$

解法2

不等式 $\left| x^2 - \frac{1}{2} \right| > 2x$ の解は、関数 $y = \left| x^2 - \frac{1}{2} \right|$ のグラフが直線 $y = 2x$ よりも上側にあるような $x$ の範囲である。

関数 $y = \left| x^2 - \frac{1}{2} \right|$ について、 $x^2 - \frac{1}{2} \geqq 0$ すなわち $x \leqq -\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}} \leqq x$ のとき、$y = x^2 - \frac{1}{2}$ $x^2 - \frac{1}{2} < 0$ すなわち $-\frac{1}{\sqrt{2}} < x < \frac{1}{\sqrt{2}}$ のとき、$y = -x^2 + \frac{1}{2}$

$x \geqq 0$ の範囲で、曲線と直線の交点の $x$ 座標を求める。

(i) $x \geqq \frac{1}{\sqrt{2}}$ のとき $x^2 - \frac{1}{2} = 2x$ すなわち $2x^2 - 4x - 1 = 0$ を解くと $x = \frac{2 \pm \sqrt{6}}{2}$ $x \geqq \frac{1}{\sqrt{2}}$ を満たすのは $x = \frac{2 + \sqrt{6}}{2}$

(ii) $0 \leqq x < \frac{1}{\sqrt{2}}$ のとき $-x^2 + \frac{1}{2} = 2x$ すなわち $2x^2 + 4x - 1 = 0$ を解くと $x = \frac{-2 \pm \sqrt{6}}{2}$ $0 \leqq x < \frac{1}{\sqrt{2}}$ を満たすのは $x = \frac{-2 + \sqrt{6}}{2}$

また、$x < 0$ の範囲では、常に $\left| x^2 - \frac{1}{2} \right| \geqq 0 > 2x$ が成り立つ。

グラフの位置関係より、求める不等式の解は

$$x < \frac{-2 + \sqrt{6}}{2}, \quad x > \frac{2 + \sqrt{6}}{2}$$

解説

絶対値を外す際の同値変形 $|X| > Y \iff X > Y \lor X < -Y$ は、場合分けの手間を省くことができるため非常に有用である。ただし、不等式の解を和集合としてまとめる際に、境界となる値の大小関係を正確に評価する必要がある点に注意する。

答え

$$x < \frac{-2 + \sqrt{6}}{2}, \quad x > \frac{2 + \sqrt{6}}{2}$$

(2)

方針・初手

角が $x$ と $2x$ で混在している三角方程式である。両辺でそれぞれ角の和の形になっているため、和積の公式を用いて積の形を作り、共通因数を見つける方針で進める。

解法1

与えられた方程式の左辺・右辺それぞれに和積の公式を用いる。

$$\sin x + \sin 2x = 2 \sin \frac{x + 2x}{2} \cos \frac{x - 2x}{2} = 2 \sin \frac{3}{2}x \cos \left( -\frac{1}{2}x \right) = 2 \sin \frac{3}{2}x \cos \frac{1}{2}x$$

$$\cos x + \cos 2x = 2 \cos \frac{x + 2x}{2} \cos \frac{x - 2x}{2} = 2 \cos \frac{3}{2}x \cos \left( -\frac{1}{2}x \right) = 2 \cos \frac{3}{2}x \cos \frac{1}{2}x$$

これらを方程式に代入すると、

$$2 \sin \frac{3}{2}x \cos \frac{1}{2}x = 2 \cos \frac{3}{2}x \cos \frac{1}{2}x$$

$$\cos \frac{1}{2}x \left( \sin \frac{3}{2}x - \cos \frac{3}{2}x \right) = 0$$

したがって、

$$\cos \frac{1}{2}x = 0 \quad \cdots \text{①} \quad \text{または} \quad \sin \frac{3}{2}x = \cos \frac{3}{2}x \quad \cdots \text{②}$$

$0 \leqq x \leqq 2\pi$ より $0 \leqq \frac{1}{2}x \leqq \pi$ であるから、①より

$$\frac{1}{2}x = \frac{\pi}{2} \iff x = \pi$$

次に、②について考える。$\cos \frac{3}{2}x = 0$ とすると $\sin \frac{3}{2}x = 0$ となり $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ に矛盾するため、$\cos \frac{3}{2}x \neq 0$ である。両辺を $\cos \frac{3}{2}x$ で割ると、

$$\tan \frac{3}{2}x = 1$$

$0 \leqq x \leqq 2\pi$ より $0 \leqq \frac{3}{2}x \leqq 3\pi$ であるから、

$$\frac{3}{2}x = \frac{\pi}{4}, \frac{5}{4}\pi, \frac{9}{4}\pi$$

これを解いて、

$$x = \frac{\pi}{6}, \frac{5}{6}\pi, \frac{3}{2}\pi$$

以上より、求める解は

$$x = \frac{\pi}{6}, \frac{5}{6}\pi, \pi, \frac{3}{2}\pi$$

解法2

与えられた方程式を角 $x$ と $2x$ の項でまとめる。

$$\sin x - \cos x + \sin 2x - \cos 2x = 0$$

三角関数の合成を用いると、

$$\sqrt{2} \sin \left( x - \frac{\pi}{4} \right) + \sqrt{2} \sin \left( 2x - \frac{\pi}{4} \right) = 0$$

$$\sin \left( x - \frac{\pi}{4} \right) + \sin \left( 2x - \frac{\pi}{4} \right) = 0$$

ここで和積の公式を用いると、

$$2 \sin \frac{\left( x - \frac{\pi}{4} \right) + \left( 2x - \frac{\pi}{4} \right)}{2} \cos \frac{\left( x - \frac{\pi}{4} \right) - \left( 2x - \frac{\pi}{4} \right)}{2} = 0$$

$$2 \sin \left( \frac{3}{2}x - \frac{\pi}{4} \right) \cos \left( -\frac{1}{2}x \right) = 0$$

$$\sin \left( \frac{3}{2}x - \frac{\pi}{4} \right) \cos \frac{1}{2}x = 0$$

したがって、

$$\sin \left( \frac{3}{2}x - \frac{\pi}{4} \right) = 0 \quad \text{または} \quad \cos \frac{1}{2}x = 0$$

$0 \leqq x \leqq 2\pi$ より $0 \leqq \frac{1}{2}x \leqq \pi$ であるから、$\cos \frac{1}{2}x = 0$ より

$$\frac{1}{2}x = \frac{\pi}{2} \iff x = \pi$$

また、$-\frac{\pi}{4} \leqq \frac{3}{2}x - \frac{\pi}{4} \leqq \frac{11}{4}\pi$ であるから、$\sin \left( \frac{3}{2}x - \frac{\pi}{4} \right) = 0$ より

$$\frac{3}{2}x - \frac{\pi}{4} = 0, \pi, 2\pi$$

$$\frac{3}{2}x = \frac{\pi}{4}, \frac{5}{4}\pi, \frac{9}{4}\pi$$

$$x = \frac{\pi}{6}, \frac{5}{6}\pi, \frac{3}{2}\pi$$

以上より、求める解は

$$x = \frac{\pi}{6}, \frac{5}{6}\pi, \pi, \frac{3}{2}\pi$$