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九州大学 2005年理系第4問解説

方針・初手

ガウス記号 $[x]$ は、「$x$ 以下の最大の整数」を表すため、整数 $n$ に対して $[x] = n \iff n \leqq x < n+1$ という不等式で外すことができる。また、$[x] \geqq n \iff x \geqq n$ という性質も有用である。

本問は、(1) で左辺、(2) で右辺の条件をそれぞれ整理し、(3) でそれらを組み合わせる構成となっている。(3) では、左辺のガウス記号の中身の値によって場合分けを行うのが見通しが良い。

解法1

(1)

$0 < \theta < \pi$ より、$-1 < \cos \theta < 1$ である。各辺に $\frac{5}{2}$ を加えると、

$$ \frac{3}{2} < \frac{5}{2} + \cos \theta < \frac{7}{2} $$

となる。したがって、ガウス記号の定義より $\left[\frac{5}{2} + \cos \theta \right]$ のとりうる値は $1, 2, 3$ のいずれかである。

与えられた不等式は、

$$ \log_2 \left[\frac{5}{2} + \cos \theta \right] \leqq 1 $$

であり、底 $2$ は $1$ より大きいから、

$$ \left[\frac{5}{2} + \cos \theta \right] \leqq 2^1 = 2 $$

となる。とりうる値が $1, 2, 3$ であるから、これを満たすのは $\left[\frac{5}{2} + \cos \theta \right] = 1, 2$ のときである。これは次と同値である。

$$ \frac{5}{2} + \cos \theta < 3 $$

$$ \cos \theta < \frac{1}{2} $$

$0 < \theta < \pi$ の範囲で解くと、求める $\theta$ の範囲は

$$ \frac{\pi}{3} < \theta < \pi $$

(2)

一般に、任意の実数 $x$ と整数 $n$ について、$[x] \geqq n \iff x \geqq n$ が成り立つ。これを用いると、与えられた不等式は次のように変形できる。

$$ \left[\frac{3}{2} + \log_2 \sin \theta \right] \geqq 1 $$

$$ \iff \frac{3}{2} + \log_2 \sin \theta \geqq 1 $$

$$ \iff \log_2 \sin \theta \geqq -\frac{1}{2} $$

底 $2$ は $1$ より大きいから、

$$ \sin \theta \geqq 2^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} $$

$0 < \theta < \pi$ の範囲でこの不等式を解くと、求める $\theta$ の範囲は

$$ \frac{\pi}{4} \leqq \theta \leqq \frac{3}{4}\pi $$

(3)

与えられた不等式において、$X = \left[\frac{5}{2} + \cos \theta \right]$ とおく。(1) の考察より、$X$ は $1, 2, 3$ のいずれかであるため、この値によって場合分けを行う。

(i) $X = 3$ のとき

$3 \leqq \frac{5}{2} + \cos \theta < 4$ より $\cos \theta \geqq \frac{1}{2}$ である。 $0 < \theta < \pi$ より、このときの $\theta$ の範囲は $0 < \theta \leqq \frac{\pi}{3}$ となる。

このとき、不等式の左辺は $\log_2 3$ となる。 $1 < \log_2 3 < 2$ であり、右辺 $\left[\frac{3}{2} + \log_2 \sin \theta \right]$ は整数であるから、不等式 $\log_2 3 \leqq \left[\frac{3}{2} + \log_2 \sin \theta \right]$ を満たすためには、右辺の値は $2$ 以上でなければならない。

$$ \left[\frac{3}{2} + \log_2 \sin \theta \right] \geqq 2 $$

(2) と同様にガウス記号を外すと、

$$ \frac{3}{2} + \log_2 \sin \theta \geqq 2 $$

$$ \log_2 \sin \theta \geqq \frac{1}{2} $$

$$ \sin \theta \geqq \sqrt{2} $$

しかし、すべての実数 $\theta$ に対して $\sin \theta \leqq 1 < \sqrt{2}$ であるから、これを満たす $\theta$ は存在しない。

(ii) $X = 2$ のとき

$2 \leqq \frac{5}{2} + \cos \theta < 3$ より $-\frac{1}{2} \leqq \cos \theta < \frac{1}{2}$ である。 $0 < \theta < \pi$ より、このときの $\theta$ の範囲は $\frac{\pi}{3} < \theta \leqq \frac{2}{3}\pi$ となる。

このとき、不等式の左辺は $\log_2 2 = 1$ となるので、元の不等式は次のようになる。

$$ \left[\frac{3}{2} + \log_2 \sin \theta \right] \geqq 1 $$

(2) より、これを満たす $\theta$ の範囲は $\frac{\pi}{4} \leqq \theta \leqq \frac{3}{4}\pi$ である。今、$\frac{\pi}{4} < \frac{\pi}{3} < \frac{2}{3}\pi < \frac{3}{4}\pi$ であるから、場合分けの条件である $\frac{\pi}{3} < \theta \leqq \frac{2}{3}\pi$ はこの範囲に完全に含まれる。よって、この場合の $\theta$ の範囲は、

$$ \frac{\pi}{3} < \theta \leqq \frac{2}{3}\pi $$

(iii) $X = 1$ のとき

$1 \leqq \frac{5}{2} + \cos \theta < 2$ より $\cos \theta < -\frac{1}{2}$ である。 $0 < \theta < \pi$ より、このときの $\theta$ の範囲は $\frac{2}{3}\pi < \theta < \pi$ となる。

このとき、不等式の左辺は $\log_2 1 = 0$ となるので、元の不等式は次のようになる。

$$ \left[\frac{3}{2} + \log_2 \sin \theta \right] \geqq 0 $$

(2) と同様にガウス記号を外すと、

$$ \frac{3}{2} + \log_2 \sin \theta \geqq 0 $$

$$ \log_2 \sin \theta \geqq -\frac{3}{2} $$

$$ \sin \theta \geqq 2^{-\frac{3}{2}} = \frac{1}{2\sqrt{2}} $$

問題文の条件より、$\sin \alpha = \frac{1}{2\sqrt{2}}$ を満たす角 $\alpha$ $\left(0 < \alpha < \frac{\pi}{2}\right)$ を用いると、この不等式を満たす $\theta$ の範囲は、

$$ \alpha \leqq \theta \leqq \pi - \alpha $$

ここで、$\sin \alpha = \frac{1}{2\sqrt{2}} < \frac{1}{2} = \sin \frac{\pi}{6}$ であり、$\sin \theta$ は $0 < \theta < \frac{\pi}{2}$ で単調増加であるから、$0 < \alpha < \frac{\pi}{6}$ となる。したがって、角の大小関係について次が成り立つ。

$$ \alpha < \frac{\pi}{6} < \frac{2}{3}\pi < \frac{5}{6}\pi < \pi - \alpha < \pi $$

ゆえに、$\alpha \leqq \theta \leqq \pi - \alpha$ と場合分けの条件 $\frac{2}{3}\pi < \theta < \pi$ の共通範囲を求めると、

$$ \frac{2}{3}\pi < \theta \leqq \pi - \alpha $$

以上 (i), (ii), (iii) より、求める $\theta$ の範囲は、(ii) と (iii) の結果を合わせたものになる。

$$ \frac{\pi}{3} < \theta \leqq \pi - \alpha $$

解説

ガウス記号を含んだ方程式や不等式の処理の定石を問う問題である。 (2) のように、$[f(x)] \geqq n$（$n$ は整数）が $f(x) \geqq n$ と同値になる性質は、ガウス記号の扱いを劇的に簡単にするため確実に押さえておきたい。 (3) は、左辺のとりうる値が離散的（$1, 2, 3$ のみ）であることに着目し、場合分けを行うのがもっとも確実なアプローチである。最後に角 $\alpha$ を用いて範囲を求める際、$\alpha$ のおよその大きさを評価（$\alpha < \frac{\pi}{6}$）して共通範囲を正しく判断する部分が、論証の山場となる。