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九州大学 2006年理系第4問解説

方針・初手

絶対値を含む関数 $f(x)$ は、内側の絶対値から順に中身の符号で場合分けをして絶対値記号を外すのが基本である。

(1) は方程式としてそのまま解く。 (2) は外した絶対値の式をもとに区間ごとの関数の形を明らかにし、それらを繋ぎ合わせる。 (3) は積分区間 $0 \leqq x \leqq a$ において、被積分関数 $f(x) f\left(x - \frac{\pi}{2}\right)$ がどのような式になるかを考える。特に積分変数 $x$ の範囲に対応して、$x - \frac{\pi}{2}$ がどの範囲を動くかに注意し、(2) の結果を利用する。また、積分の上端 $a$ が場合分けの境界をまたぐかどうかで積分を分割する。

解法1

(1)

$f(x) = 0$ より、

$$ \left| \left| \sin x - \frac{1}{2} \right| - \frac{1}{2} \right| = 0 $$

よって、

$$ \left| \sin x - \frac{1}{2} \right| - \frac{1}{2} = 0 $$

$$ \left| \sin x - \frac{1}{2} \right| = \frac{1}{2} $$

絶対値を外すと、

$$ \sin x - \frac{1}{2} = \pm \frac{1}{2} $$

$$ \sin x = 1, 0 $$

与えられた定義域 $-\pi \leqq x \leqq \pi$ において、

$\sin x = 1$ を満たす $x$ は、

$$ x = \frac{\pi}{2} $$

$\sin x = 0$ を満たす $x$ は、

$$ x = -\pi, 0, \pi $$

以上より、求める $x$ は、

$$ x = -\pi, 0, \frac{\pi}{2}, \pi $$

(2)

関数 $f(x)$ の内側の絶対値を外すために、$\sin x - \frac{1}{2}$ の符号で場合分けを行う。

(i) $\sin x - \frac{1}{2} \geqq 0$ すなわち $\sin x \geqq \frac{1}{2}$ のとき $-\pi \leqq x \leqq \pi$ の範囲では $\frac{\pi}{6} \leqq x \leqq \frac{5\pi}{6}$ である。このとき、

$$ f(x) = \left| \left(\sin x - \frac{1}{2}\right) - \frac{1}{2} \right| = |\sin x - 1| $$

ここで、すべての $x$ において $\sin x \leqq 1$ であるから $\sin x - 1 \leqq 0$ となり、

$$ f(x) = -(\sin x - 1) = 1 - \sin x $$

(ii) $\sin x - \frac{1}{2} < 0$ すなわち $\sin x < \frac{1}{2}$ のとき $-\pi \leqq x \leqq \pi$ の範囲では $-\pi \leqq x < \frac{\pi}{6}$ または $\frac{5\pi}{6} < x \leqq \pi$ である。このとき、

$$ f(x) = \left| -\left(\sin x - \frac{1}{2}\right) - \frac{1}{2} \right| = |-\sin x| = |\sin x| $$

さらに、$\sin x$ の符号により場合分けをする。 $\sin x \geqq 0$ となるのは $0 \leqq x < \frac{\pi}{6}$ および $\frac{5\pi}{6} < x \leqq \pi$ であり、このとき $f(x) = \sin x$ である。 $\sin x < 0$ となるのは $-\pi \leqq x < 0$ であり、このとき $f(x) = -\sin x$ である。

以上をまとめると、$f(x)$ は次のように表される。

$$ f(x) = \begin{cases} -\sin x & (-\pi \leqq x \leqq 0) \\ \sin x & \left(0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6} \leqq x \leqq \pi\right) \\ 1 - \sin x & \left(\frac{\pi}{6} \leqq x \leqq \frac{5\pi}{6}\right) \end{cases} $$

グラフの概形は、これらの区間ごとの正弦曲線（およびその反転や平行移動）を繋ぎ合わせたものになる。特徴的な点として、$(-\pi, 0), \left(-\frac{\pi}{2}, 1\right), (0, 0), \left(\frac{\pi}{6}, \frac{1}{2}\right), \left(\frac{\pi}{2}, 0\right), \left(\frac{5\pi}{6}, \frac{1}{2}\right), (\pi, 0)$ を通り、$x = \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}$ ではグラフが滑らかに繋がらずに折れ曲がる（尖点を持つ）形となる。

(3)

$$ F(a) = \int_0^a f(x) f\left(x - \frac{\pi}{2}\right) dx \quad \left(0 \leqq a \leqq \frac{\pi}{2}\right) $$

積分区間は $0 \leqq x \leqq a \leqq \frac{\pi}{2}$ である。この区間において、被積分関数がどのようになるかを考える。 $0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$ のとき、$x - \frac{\pi}{2}$ は $-\frac{\pi}{2} \leqq x - \frac{\pi}{2} \leqq 0$ の範囲にある。 (2) で求めた結果より、$-\pi \leqq t \leqq 0$ のとき $f(t) = -\sin t$ であるから、

$$ f\left(x - \frac{\pi}{2}\right) = -\sin\left(x - \frac{\pi}{2}\right) = \cos x $$

となる。また、$f(x)$ については、(2) の結果より区間 $0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$ において以下のように表される。 $0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{6}$ のとき、$f(x) = \sin x$ $\frac{\pi}{6} \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$ のとき、$f(x) = 1 - \sin x$

したがって、積分 $F(a)$ の計算は、上限 $a$ が $\frac{\pi}{6}$ 以下かそうでないかで場合分けが必要になる。

(ア) $0 \leqq a \leqq \frac{\pi}{6}$ のときこの区間では $f(x) = \sin x$ であるから、

$$ F(a) = \int_0^a \sin x \cos x dx = \int_0^a \frac{1}{2} \sin 2x dx $$

$$ F(a) = \left[ -\frac{1}{4} \cos 2x \right]_0^a = -\frac{1}{4} \cos 2a + \frac{1}{4} = \frac{1}{2} \sin^2 a $$

(イ) $\frac{\pi}{6} < a \leqq \frac{\pi}{2}$ のとき積分区間を $0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{6}$ と $\frac{\pi}{6} \leqq x \leqq a$ に分ける。

$$ F(a) = \int_0^{\frac{\pi}{6}} \sin x \cos x dx + \int_{\frac{\pi}{6}}^a (1 - \sin x) \cos x dx $$

第1項は (ア) の結果より、

$$ \int_0^{\frac{\pi}{6}} \sin x \cos x dx = \frac{1}{2} \sin^2 \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2} \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{8} $$

第2項を計算すると、

$$ \int_{\frac{\pi}{6}}^a (\cos x - \sin x \cos x) dx = \left[ \sin x - \frac{1}{2} \sin^2 x \right]_{\frac{\pi}{6}}^a $$

$$ = \left(\sin a - \frac{1}{2} \sin^2 a\right) - \left(\sin \frac{\pi}{6} - \frac{1}{2} \sin^2 \frac{\pi}{6}\right) $$

$$ = \sin a - \frac{1}{2} \sin^2 a - \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{8}\right) $$

$$ = -\frac{1}{2} \sin^2 a + \sin a - \frac{3}{8} $$

よって、$F(a)$ はこれらを足し合わせて、

$$ F(a) = \frac{1}{8} + \left( -\frac{1}{2} \sin^2 a + \sin a - \frac{3}{8} \right) = -\frac{1}{2} \sin^2 a + \sin a - \frac{1}{4} $$

以上より、$F(a)$ が求まる。

解説

絶対値記号を含む関数の基本的な処理能力と、定積分の性質を問う問題である。 (2) でグラフを描く際には、絶対値の中身の正負によって関数がどのように切り替わるかを丁寧に追う必要がある。 (3) では、被積分関数 $f\left(x - \frac{\pi}{2}\right)$ を処理する際、$x$ の積分区間 $[0, \frac{\pi}{2}]$ から引数 $x - \frac{\pi}{2}$ の変域が $[-\frac{\pi}{2}, 0]$ となることを見抜き、(2) で求めた関数の形（この範囲では $f(t) = -\sin t$）を適用できるかが鍵となる。また、$a$ の値による場合分けを忘れないようにしたい。

答え

(1) $x = -\pi, 0, \frac{\pi}{2}, \pi$

(2) 関数 $y = f(x)$ のグラフは、以下の式で表される各区間の曲線を繋ぎ合わせた概形となる。

(3)

$$ F(a) = \begin{cases} \frac{1}{2} \sin^2 a & \left(0 \leqq a \leqq \frac{\pi}{6}\right) \\ -\frac{1}{2} \sin^2 a + \sin a - \frac{1}{4} & \left(\frac{\pi}{6} < a \leqq \frac{\pi}{2}\right) \end{cases} $$