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九州大学 2008年文系第1問解説

方針・初手

与えられた数列 $a_n$ はコサインの積で定義されています。(1) や (2) の結論にサインが現れていることから、サインの倍角の公式 $\sin 2\theta = 2\sin\theta\cos\theta$ を活用してコサインの積をサインに変換していく方針が立ちます。両辺に $\sin 1$ を掛けることで、連鎖的に倍角の公式を適用できます。

(3) では、(2) で求めた $a_n$ の式を用いて不等式を証明します。分子の $\sin 2^{n+1}$ が $1$ 以下であることを利用し、分母にある $\sin 1$ と $\sqrt{2}$ の大小関係、つまり $1$ (rad) と $\frac{\pi}{4}$ の大小関係を比較します。

解法1

(1)

与えられた定義より、$a_1 = \cos 2 \cos 1$ である。両辺に $\sin 1$ を掛けると、倍角の公式 $\sin 2\theta = 2\sin\theta\cos\theta$ より、

$$ a_1 \sin 1 = \cos 2 \cos 1 \sin 1 $$

$$ a_1 \sin 1 = \cos 2 \left( \frac{1}{2} \sin 2 \right) $$

$$ a_1 \sin 1 = \frac{1}{2} \sin 2 \cos 2 $$

$$ a_1 \sin 1 = \frac{1}{4} \sin 4 $$

となる。ここで、$0 < 1 < \pi$ より $\sin 1 \neq 0$ であるから、両辺を $\sin 1$ で割って、

$$ a_1 = \frac{\sin 4}{4 \sin 1} $$

が示された。

(2)

$a_n = (\cos 2^n)(\cos 2^{n-1}) \cdots (\cos 2)(\cos 1)$ の両辺に $\sin 1$ を掛けると、

$$ a_n \sin 1 = (\cos 2^n)(\cos 2^{n-1}) \cdots (\cos 2)(\cos 1) \sin 1 $$

となる。右辺について、倍角の公式を繰り返し用いると、

$$ \begin{aligned} a_n \sin 1 &= (\cos 2^n)(\cos 2^{n-1}) \cdots (\cos 2^2)(\cos 2) \cdot \frac{1}{2} \sin 2 \\ &= (\cos 2^n)(\cos 2^{n-1}) \cdots (\cos 2^2) \cdot \frac{1}{2^2} \sin 2^2 \\ &\ \ \vdots \\ &= (\cos 2^n) \cdot \frac{1}{2^n} \sin 2^n \\ &= \frac{1}{2^{n+1}} \sin 2^{n+1} \end{aligned} $$

となる。 $\sin 1 \neq 0$ であるから、両辺を $\sin 1$ で割って、

$$ a_n = \frac{\sin 2^{n+1}}{2^{n+1} \sin 1} $$

が示された。

(3)

(2) より、$a_n < \frac{\sqrt{2}}{2^{n+1}}$ を示すには、

$$ \frac{\sin 2^{n+1}}{2^{n+1} \sin 1} < \frac{\sqrt{2}}{2^{n+1}} $$

すなわち、

$$ \sin 2^{n+1} < \sqrt{2} \sin 1 $$

を示せばよい（$2^{n+1} \sin 1 > 0$ であるため）。

ここで、円周率 $\pi$ について $3.14 < \pi < 3.15$ であるから、

$$ \frac{\pi}{4} < \frac{3.15}{4} = 0.7875 < 1 $$

$$ 1 < \frac{3.14}{3} < \frac{\pi}{3} < \frac{\pi}{2} $$

が成り立つ。よって、$\frac{\pi}{4} < 1 < \frac{\pi}{2}$ である。関数 $y = \sin x$ は $0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$ において単調に増加するため、

$$ \sin \frac{\pi}{4} < \sin 1 $$

すなわち、

$$ \frac{1}{\sqrt{2}} < \sin 1 $$

が成り立つ。両辺に $\sqrt{2}$ を掛けると、

$$ 1 < \sqrt{2} \sin 1 $$

を得る。一方、任意の実数 $\theta$ に対して $\sin \theta \leqq 1$ であるから、すべての自然数 $n$ において

$$ \sin 2^{n+1} \leqq 1 $$

が成り立つ。したがって、

$$ \sin 2^{n+1} \leqq 1 < \sqrt{2} \sin 1 $$

となり、$\sin 2^{n+1} < \sqrt{2} \sin 1$ が示された。両辺を $2^{n+1} \sin 1 > 0$ で割ることで、

$$ a_n < \frac{\sqrt{2}}{2^{n+1}} $$

が示された。

解法2

(2) について、数学的帰納法を用いる別解

$n$ についての数学的帰納法で示す。

(i) $n=1$ のとき (1) より $a_1 = \frac{\sin 2^2}{2^2 \sin 1}$ となり、成立する。

(ii) $n=k$ ($k$ は自然数) のとき $a_k = \frac{\sin 2^{k+1}}{2^{k+1} \sin 1}$ が成り立つと仮定する。 $n=k+1$ のとき、定義より

$$ a_{k+1} = \cos 2^{k+1} \cdot a_k $$

であるから、帰納法の仮定を用いて

$$ a_{k+1} = \cos 2^{k+1} \cdot \frac{\sin 2^{k+1}}{2^{k+1} \sin 1} $$

$$ a_{k+1} = \frac{2 \sin 2^{k+1} \cos 2^{k+1}}{2 \cdot 2^{k+1} \sin 1} $$

$$ a_{k+1} = \frac{\sin 2^{k+2}}{2^{k+2} \sin 1} $$

よって、$n=k+1$ のときも成立する。

(i)、(ii) より、すべての自然数 $n$ に対して $a_n = \frac{\sin 2^{n+1}}{2^{n+1} \sin 1}$ が示された。

解説

コサインの積に対してサインを掛け、倍角の公式を用いて次々と次数（角度）を上げていく操作は、三角関数の問題において非常に頻出の典型手法です。(1) で具体的に $n=1$ の場合を計算させることで、(2) の一般化への誘導となっています。

(3) では、三角関数の値の範囲を利用した不等式評価が問われています。$\sin \theta \leqq 1$ という自明な上限を利用し、残る定数部分 $\sin 1$ と $\frac{1}{\sqrt{2}}$ の大小関係に帰着させるのがポイントです。角度が弧度法の実数値で与えられているため、$\pi \approx 3.14$ を用いて $\frac{\pi}{4}$ や $\frac{\pi}{3}$ といった有名角との大小を比較し、サインの単調性から値の大小を導く論証が求められます。