九州大学 2013年 文系 第1問 解説

方針・初手

空間ベクトルの基本的な扱い方に従い、始点を $O$ に揃え、一次独立な3つのベクトル $\overrightarrow{OA}, \overrightarrow{OC}, \overrightarrow{OP}$ を基底として各ベクトルを表す。また、図形の対称性や長さの条件から、基底ベクトルの大きさや内積の値をあらかじめ求めておくと、後半の計算がスムーズに進む。

解法1

$\overrightarrow{OA} = \vec{a}$、$\overrightarrow{OC} = \vec{c}$、$\overrightarrow{OP} = \vec{p}$ とおく。 四角形 $OABC$ は1辺の長さが1の正方形であるから、 $$ |\vec{a}| = 1, \quad |\vec{c}| = 1, \quad \vec{a} \cdot \vec{c} = 0 $$

また、$\overrightarrow{OB} = \vec{a} + \vec{c}$ である。

(1)

点 $D$ は辺 $AP$ を $1:3$ に内分するので、 $$ \overrightarrow{OD} = \frac{3\overrightarrow{OA} + 1\overrightarrow{OP}}{1+3} = \frac{3}{4}\vec{a} + \frac{1}{4}\vec{p} $$

点 $E$ は辺 $CP$ の中点なので、 $$ \overrightarrow{OE} = \frac{\overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OP}}{2} = \frac{1}{2}\vec{c} + \frac{1}{2}\vec{p} $$

よって、 $$ \overrightarrow{OD} = \frac{3}{4}\overrightarrow{OA} + \frac{1}{4}\overrightarrow{OP}, \quad \overrightarrow{OE} = \frac{1}{2}\overrightarrow{OC} + \frac{1}{2}\overrightarrow{OP} $$

(2)

点 $Q$ は辺 $BC$ を $t:(1-t)$ に内分するので、 $$ \begin{aligned} \overrightarrow{OQ} &= (1-t)\overrightarrow{OB} + t\overrightarrow{OC} \\ &= (1-t)(\vec{a} + \vec{c}) + t\vec{c} \\ &= (1-t)\vec{a} + \vec{c} \end{aligned} $$

したがって、 $$ \begin{aligned} \overrightarrow{PQ} &= \overrightarrow{OQ} - \overrightarrow{OP} \\ &= (1-t)\vec{a} + \vec{c} - \vec{p} \\ &= (1-t)\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OC} - \overrightarrow{OP} \end{aligned} $$

(3)

条件 $OP = AP$ より $|\vec{p}| = |\vec{p} - \vec{a}|$ である。両辺を2乗して、 $$ |\vec{p}|^2 = |\vec{p}|^2 - 2\vec{a} \cdot \vec{p} + |\vec{a}|^2 $$

$|\vec{a}| = 1$ を代入して整理すると、 $$ 2\vec{a} \cdot \vec{p} = 1 \implies \vec{a} \cdot \vec{p} = \frac{1}{2} $$

すなわち、 $$ \overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OP} = \frac{1}{2} $$

(4)

(3) と同様に、$OP = CP$ より $|\vec{p}| = |\vec{p} - \vec{c}|$ が成り立ち、これを2乗して整理すると $\vec{c} \cdot \vec{p} = \frac{1}{2}$ を得る。

直線 $PQ$ が平面 $ODE$ に垂直であるための条件は、$\overrightarrow{PQ} \perp \overrightarrow{OD}$ かつ $\overrightarrow{PQ} \perp \overrightarrow{OE}$ である。 すなわち、 $$ \overrightarrow{PQ} \cdot \overrightarrow{OD} = 0 \quad \text{かつ} \quad \overrightarrow{PQ} \cdot \overrightarrow{OE} = 0 $$

まず、$\overrightarrow{PQ} \cdot \overrightarrow{OD} = 0$ より、 $$ \begin{aligned} \left\{ (1-t)\vec{a} + \vec{c} - \vec{p} \right\} \cdot \left( \frac{3}{4}\vec{a} + \frac{1}{4}\vec{p} \right) &= 0 \\ \frac{3(1-t)}{4}|\vec{a}|^2 + \frac{1-t}{4}\vec{a} \cdot \vec{p} + \frac{3}{4}\vec{a} \cdot \vec{c} + \frac{1}{4}\vec{c} \cdot \vec{p} - \frac{3}{4}\vec{a} \cdot \vec{p} - \frac{1}{4}|\vec{p}|^2 &= 0 \end{aligned} $$

$\vec{a}\cdot\vec{a}=1$, $\vec{a}\cdot\vec{p}=\frac{1}{2}$, $\vec{a}\cdot\vec{c}=0$, $\vec{c}\cdot\vec{p}=\frac{1}{2}$ を代入して整理する。 $$ \begin{aligned} \frac{3(1-t)}{4} + \frac{1-t}{8} + 0 + \frac{1}{8} - \frac{3}{8} - \frac{1}{4}|\vec{p}|^2 &= 0 \\ \frac{7(1-t)}{8} - \frac{2}{8} - \frac{1}{4}|\vec{p}|^2 &= 0 \end{aligned} $$

両辺を $8$ 倍して整理すると、 $$ 2|\vec{p}|^2 = 5 - 7t \quad \cdots \text{①} $$

次に、$\overrightarrow{PQ} \cdot \overrightarrow{OE} = 0$ より、 $$ \begin{aligned} \left\{ (1-t)\vec{a} + \vec{c} - \vec{p} \right\} \cdot \left( \frac{1}{2}\vec{c} + \frac{1}{2}\vec{p} \right) &= 0 \\ \frac{1-t}{2}\vec{a} \cdot \vec{c} + \frac{1-t}{2}\vec{a} \cdot \vec{p} + \frac{1}{2}|\vec{c}|^2 + \frac{1}{2}\vec{c} \cdot \vec{p} - \frac{1}{2}\vec{c} \cdot \vec{p} - \frac{1}{2}|\vec{p}|^2 &= 0 \end{aligned} $$

値を代入して整理する。 $$ \begin{aligned} 0 + \frac{1-t}{4} + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} - \frac{1}{4} - \frac{1}{2}|\vec{p}|^2 &= 0 \\ \frac{1-t}{4} + \frac{1}{2} - \frac{1}{2}|\vec{p}|^2 &= 0 \end{aligned} $$

両辺を $4$ 倍して整理すると、 $$ 2|\vec{p}|^2 = 3 - t \quad \cdots \text{②} $$

①、②より、 $$ 5 - 7t = 3 - t \implies 6t = 2 \implies t = \frac{1}{3} $$

これを②に代入して、 $$ 2|\vec{p}|^2 = 3 - \frac{1}{3} = \frac{8}{3} \implies |\vec{p}|^2 = \frac{4}{3} $$

$|\vec{p}| > 0$ であるから、 $$ |\vec{p}| = \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{3} $$

解説

空間ベクトルにおける基本的な内積計算と垂直条件の処理を問う標準的な問題である。基底となる3つのベクトルの内積をあらかじめ（あるいは問われるごとに）準備しておけば、あとは計算を遂行するのみである。平面と直線の垂直条件は、平面上の任意の独立な2つのベクトルと直線の方向ベクトルが直交することを利用するのが定石である。

答え

(1) $\overrightarrow{OD} = \frac{3}{4}\overrightarrow{OA} + \frac{1}{4}\overrightarrow{OP}, \quad \overrightarrow{OE} = \frac{1}{2}\overrightarrow{OC} + \frac{1}{2}\overrightarrow{OP}$

(2) $\overrightarrow{PQ} = (1-t)\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OC} - \overrightarrow{OP}$

(3) $\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OP} = \frac{1}{2}$

(4) $t = \frac{1}{3}$, 線分 $OP$ の長さは $\frac{2\sqrt{3}}{3}$